ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 500 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике ABC известно, что \(AC = a, AB = BC = b\), AM и СК — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок МК.

Краткий ответ:

Дано:
— AM — биссектриса угла ∠LAC треугольника ABC
— AB = BC = b
— AC = a

Решение:
1) Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то ∠LAC = ∠LCA, и AM является биссектрисой.
2) По свойствам биссектрисы: \(\frac{AB}{BM} = \frac{AC}{CM}\).
3) Подставляем значения: \(\frac{b}{BM} = \frac{a}{CM}\).
4) Отсюда \(BM = \frac{b}{a}CM\).
5) По свойствам подобных треугольников: \(\frac{MK}{AC} = \frac{AB}{BC}\).
6) Подставляем значения: \(\frac{MK}{a} = \frac{b}{b}\).
7) Таким образом, \(MK = \frac{ab}{a+b}\).

Ответ: \(MK = \frac{ab}{a+b}\).

Подробный ответ:

Дано: треугольники \(A_1B_1C_1\), \(A_2B_2C_2\) и \(A_3B_3C_3\) являются данными треугольниками, при этом \(A_1B_1 > B_1C_1 > A_1C_1\).

Шаг 1. Рассмотрим подобные треугольники \(A_1B_1C_1\), \(A_2B_2C_2\) и \(A_3B_3C_3\):
\(A_1B_1C_1 \sim A_2B_2C_2 \sim A_3B_3C_3\)

Шаг 2. Найдем отношения сторон этих треугольников:
\(\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2}\), \(\frac{A_2B_2}{A_3B_3} = \frac{A_2C_2}{A_3C_3}\)

Шаг 3. Составим треугольники \(MNK\) и \(DEF\):
\(MN = A_1B_1\), \(NK = A_2B_2\), \(MK = A_3B_3\)
\(DE = A_1C_1\), \(EF = A_2C_2\), \(DF = A_3C_3\)

Шаг 4. Рассмотрим подобные треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\):
\(\frac{MN}{DE} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}\), \(\frac{NK}{EF} = \frac{A_2B_2}{A_2C_2}\), \(\frac{MK}{DF} = \frac{A_3B_3}{A_3C_3}\)

Шаг 5. Поскольку треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\) подобны, то это третий признак подобия треугольников.

Таким образом, ответ: да, треугольники \(AMNK\) и \(ADEF\) подобны.

Оцени решение