ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 502 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки А проведены два луча AM и AN, не лежащие на одной прямой. На луче АМ отмечены точки Н и В, а на луче AN — точки С и D так, что \(AH \cdot AB = AC \cdot AD\). Докажите, что точки Н, B, D и С лежат на одной окружности.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники АСН и АВD: \(AH/AB = AC/AD\), что следует из условия задачи.
2) Из второго признака подобия треугольников следует, что \(\angle ACH = \angle ABD\).
3) В четырехугольнике BDCH сумма углов равна 360°: \(\angle DCH + \angle DCB + \angle DBC + \angle DCB = 180°\).
4) Так как \(\angle DCH = 180° — \angle ACH\) и \(\angle DCB = 180° — \angle ABD\), то \(\angle DCH + \angle DCB = 360°\).
5) Следовательно, четырехугольник BDCH является описанным около окружности, а точки H, B, C, D лежат на окружности.

Решение:
Дано: AH · AB = AC · AD. Требуется доказать, что точки H, B, C, D лежат на одной окружности.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники АСН и АВD. Из условия задачи следует, что \(AH/AB = AC/AD\). Это означает, что треугольники АСН и АВD подобны по второму признаку подобия треугольников.
2) Так как треугольники АСН и АВD подобны, то \(\angle ACH = \angle ABD\).
3) Рассмотрим четырехугольник BDCH. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
4) Угол DCH в четырехугольнике BDCH равен \(180° — \angle ACH\), а угол DCB равен \(180° — \angle ABD\).
5) Так как \(\angle ACH = \angle ABD\), то \(\angle DCH + \angle DCB = 180° + 180° = 360°\).
6) Следовательно, четырехугольник BDCH является описанным около окружности, а точки H, B, C, D лежат на одной окружности.