ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 504 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD пересекаются в точке М. Известно, что \(AM \cdot MB = CM \cdot MD\). Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение:

1) Рассмотрим ΔAMC и ΔDMB: \(\frac{AM}{DM} = \frac{CM}{BM}\)
2) ΔAMC и ΔDMB подобны, следовательно, \(\angle AMC = \angle DMB\)
3) Так как \(\angle AMC = \angle DMB\) и \(\angle ACM = \angle BDM\) (вертикальные), то четырехугольник ABCD является вписанным в окружность.

Дано: AM . MB = CM . MD

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники АМС и DМВ. Согласно условию, выполняется равенство AM / DM = CM / BM. Это означает, что треугольники АМС и DМВ подобны.
2) Так как треугольники АМС и DМВ подобны, то их соответствующие углы равны. Следовательно, \(\angle AMC = \angle DMB\).
3) Также известно, что \(\angle ACM = \angle BDM\), так как они являются вертикальными углами.
4) Таким образом, в четырехугольнике ABCD выполняются следующие условия:
\(\angle AMC = \angle DMB\)
\(\angle ACM = \angle BDM\)
5) Эти условия означают, что четырехугольник ABCD является вписанным в окружность.

Вывод: Четырехугольник ABCD является вписанным в окружность.