ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 505 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку М и через нее провели хорды AB и CD (рис. 166). Докажите, что \(\angle DAB = \angle BCD\)

Решение:
1) Окружность с хордой АВ: AB ∩ EF = M; AM ⋅ BM = EM ⋅ MF;
2) Окружность с хордой CD: CD ∩ EF = M; CM ⋅ DM = EM ⋅ MF;
3) Рассмотрим ΔAMD и ΔCMB: AM ⋅ BM = CM ⋅ DM; AM/CM = DM/BM; ΔAMD ≅ ΔCMB — второй признак; ΔDAM = ΔBCM; ΔDAB = ΔBCD.

Дано: EF — общая хорда окружностей.

Доказать: ΔDAB ≅ ΔBCD.

Решение:
1) Рассмотрим окружность с хордой AB. Согласно теореме о хордах, AB ∩ EF = M, и AM ⋅ BM = EM ⋅ MF.
2) Рассмотрим окружность с хордой CD. Согласно теореме о хордах, CD ∩ EF = M, и CM ⋅ DM = EM ⋅ MF.
3) Сравним треугольники AMD и CMB:
— AM ⋅ BM = CM ⋅ DM (из п. 1 и 2)
— AM/CM = DM/BM (пропорциональность сторон)
— ΔAMD ≅ ΔCMB по второму признаку равенства треугольников
4) Так как ΔAMD ≅ ΔCMB, то:
— ΔDAM ≅ ΔBCM (соответствующие углы равны)
— ΔDAB ≅ ΔBCD (соответствующие стороны равны).

Таким образом, доказано, что ΔDAB ≅ ΔBCD.