ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 506 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Периметр параллелограмма ABCD равен \(46 \text{ см}\), \(\angle BAD = \angle ADB\). Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника BCD равен \(32 \text{ см}\).

Краткий ответ:

Решение:

1) В параллелограмме ABCD: AB = CD, BC = AD; P_ABCD = AB + BC + CD + AD; AB + BC + AB + BC = 46; 2AB + 2BC = 46; AB + BC = 23;

2) В треугольнике ABD: ∠BAD = ∠BDA; ∆ABD — равнобедренный; BD = AB = CD;

3) ∆BDC равнобедренный: P_BCD = BC + CD + BD; BC + AB + AB = 32; 23 + AB = 32, AB = 9; BC = 23 — AB = 14;

Ответ: AB = 9 см; BC = 14 см.

Подробный ответ:

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, \(\angle BAD = \angle BDA\), периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, периметр треугольника BCD равен 32 см.

Решение:

1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\).

2) Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин всех его сторон: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\).

3) Из условия, \(P_{ABCD} = 46\) см, значит \(AB + BC + CD + AD = 46\) см.

4) Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то \(AB + BC = CD + AD\), следовательно \(2AB + 2BC = 46\) см, откуда \(AB + BC = 23\) см.

5) В треугольнике ABD, \(\angle BAD = \angle BDA\), значит треугольник ABD является равнобедренным, и \(BD = AB = CD\).

6) Периметр треугольника BCD равен \(P_{BCD} = BC + CD + BD\).

7) Из условия, \(P_{BCD} = 32\) см, значит \(BC + CD + BD = 32\) см.

8) Из пункта 4, \(AB + BC = 23\) см, следовательно \(BC + AB + AB = 32\) см, откуда \(2AB + BC = 32\) см.

9) Решая это уравнение, получаем \(AB = 9\) см и \(BC = 23 — 9 = 14\) см.

Ответ: \(AB = 9\) см, \(BC = 14\) см.

Оцени решение