ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 507 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На диагонали BD квадрата ABCD отметили точку Е так, что \(DE = AD\). Через точку Е проведена прямая, которая перпендикулярна прямой BD и пересекает сторону АВ в точке F. Докажите, что \(AF = FE = BE\).

Решение:
1) В квадрате ABCD: \(\angle B = \angle A = 90°\); BD — биссектриса \(\angle B\);
2) В прямоугольном ΔABEF: \(\angle FBE = \frac{1}{2}\angle B = 45°\); ΔABEF — равнобедренный; BE = FE;
3) Рассмотрим ΔFAD и ΔFED: FD — общая сторона; \(\angle FAD = 2\angle FED = 90°\), AD = DE; \(\Delta FAD = \Delta FED\) — две стороны; FA = FE = BE.

Дано: четырехугольник ABCD является квадратом, DE = AD, и отрезок FE параллелен отрезку BD.

Доказать: AF = FE = BE.

Решение:

1) Так как ABCD — квадрат, то \(\angle B = \angle A = 90°\). Это означает, что BD является биссектрисой угла B.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABEF. Так как ΔABEF — прямоугольный, то \(\angle FBE = \frac{1}{2}\angle B = 45°\). Следовательно, ΔABEF является равнобедренным, и поэтому BE = FE.

3) Теперь рассмотрим ΔFAD и ΔFED. Так как FD является общей стороной этих треугольников, а \(\angle FAD = 2\angle FED = 90°\), и AD = DE, то ΔFAD и ΔFED равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, FA = FE.

Таким образом, мы доказали, что AF = FE = BE.