ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 514 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой — на 4 см больше высоты.

Краткий ответ:

Решение:
В прямоугольном ΔABC: AB = AD + BD = 2CD + 1; CD — высота, ∠C = 90°; CD^2 = AD ⋅ BD; CD^2 = (CD — 3)(CD + 4); CD^2 = CD^2 + 4CD — 3CD — 12; CD = 12, AB = 2 ⋅ 12 + 1 = 25; AD = 12 — 3 = 9; BD = 12 + 4 = 16; AC^2 = AB ⋅ AD; AC^2 = 25 ⋅ 9 = 225; AC = \(\sqrt{225}\) = 15; BC^2 = AB ⋅ BD; BC^2 = 25 ⋅ 16 = 400; BC = \(\sqrt{400}\) = 20.
Ответ: 15 см; 20 см.

Подробный ответ:

Решение:
Дано: CD — высота треугольника ABC, ∠C = 90°, AD = CD — 3 см, BD = CD + 4 см.
Найти: длины сторон AC и BC.

Для решения этой задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника.

Сначала найдем длину стороны AB:
AB = AD + BD = (CD — 3) + (CD + 4) = 2CD + 1

Теперь можно найти длину стороны CD:
CD^2 = AD ⋅ BD
CD^2 = (CD — 3)(CD + 4)
CD^2 = CD^2 + 4CD — 3CD — 12
CD^2 — CD^2 — 4CD + 3CD + 12 = 0
-CD^2 + CD^2 + 4CD — 3CD — 12 = 0
CD^2 — CD — 12 = 0
CD = 12 см

Теперь можно найти длины сторон AC и BC:
AB = 2CD + 1 = 2 ⋅ 12 + 1 = 25 см
AD = CD — 3 = 12 — 3 = 9 см
BD = CD + 4 = 12 + 4 = 16 см

AC^2 = AB ⋅ AD = 25 ⋅ 9 = 225 см^2
AC = \(\sqrt{225}\) = 15 см

BC^2 = AB ⋅ BD = 25 ⋅ 16 = 400 см^2
BC = \(\sqrt{400}\) = 20 см

Ответ: AC = 15 см, BC = 20 см.

Оцени решение