ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 515 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведенную к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

Решение:
В прямоугольном ΔABC: AB = BC + 10, BD = BC — 8; CD — высота, ∠C = 90°; BC^2 = AB · BD; BC^2 = (BC + 10)(BC — 8); BC^2 = BC^2 — 8BC + 10BC — 80; 2BC = 80, BC = 40; AB = 40 + 10 = 50; BD = 40 — 8 = 32; AD = AB — AD = 18; AC^2 = AB · AD; AC^2 = 50 · 18 = 900; AC = √900 = 30; CD^2 = AD · BD; CD^2 = 18 · 32 = 576; CD = √576 = 24.
Ответ: 30 см; 24 см.

Дано:
— CD — высота треугольника ABC;
— ∠C = 90°;
— BC = AB — 10 см;
— BC = BD + 8 см.

Решение:
1. Так как треугольник ABC является прямоугольным (∠C = 90°), то можно применить теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника.
2. Согласно условию, BC = AB — 10 см, следовательно, AB = BC + 10 см.
3. Также известно, что BC = BD + 8 см, следовательно, BD = BC — 8 см.
4. Применяя теорему Пифагора, можно найти длину стороны BC: BC^2 = AB · BD
5. Подставляя значения, получаем: BC^2 = (BC + 10)(BC — 8)
6. Раскрывая скобки, получаем: BC^2 = BC^2 — 8BC + 10BC — 80
7. Сокращая подобные слагаемые, получаем: 2BC = 80, BC = 40 см.
8. Зная длину стороны BC, можно найти длину стороны AB: AB = BC + 10 = 40 + 10 = 50 см.
9. Также можно найти длину стороны BD: BD = BC — 8 = 40 — 8 = 32 см.
10. Теперь, зная длины сторон AB и AD, можно найти длину стороны AC: AC^2 = AB · AD
11. Подставляя значения, получаем: AC^2 = 50 · 18 = 900
12. Следовательно, AC = \(\sqrt{900}\) = 30 см.
13. Для нахождения длины CD, применим теорему Пифагора: CD^2 = AD · BD
14. Подставляя значения, получаем: CD^2 = 18 · 32 = 576
15. Следовательно, CD = \(\sqrt{576}\) = 24 см.

Ответ: 30 см; 24 см.