ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 516 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит эту сторону на отрезки, относящиеся как \(1 : 4\). Найдите диагонали ромба.

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD: AC = 2AO, BD = 2BO; AC ⊥ BD.
2) В прямоугольном ΔAOB: AH = 4BH; OH — высота, ∠O = 90°; OH^2 = AH ⋅ BH.
3) BH^2 = 1, BH = 1; AH = 4, AB = AH + BH = 5; BO^2 = AB ⋅ BH; BO^2 = 5 ⋅ 1 = 5, BO = √5.
4) AO^2 = AB ⋅ AH; AO^2 = 5 ⋅ 4 = 20, AO = √20 = 2√5.
5) AC = 2√5, BD = 4√5.

Ответ: 2√5 см; 4√5 см.

Рассмотрим ромб \(ABCD\), где \(OH \perp AB\), \(OH = 2 \, \text{см}\), и отношение \(BH : AH = 1 : 4\).

1. Так как \(AC\) и \(BD\) — диагонали ромба, они пересекаются под прямым углом в точке \(O\). Следовательно, \(AC = 2 \cdot AO\) и \(BD = 2 \cdot BO\).

2. В прямоугольном треугольнике \(AOB\), где \(OH\) — высота, проведенная к гипотенузе \(AB\), имеем:
\(
OH^2 = AH \cdot BH
\)
Подставляя известные значения:
\(
2^2 = 4 \cdot BH \cdot BH
\)
Откуда \(BH^2 = 1\), следовательно, \(BH = 1 \, \text{см}\).

3. Поскольку \(AH = 4 \cdot BH\), то \(AH = 4 \, \text{см}\). Тогда \(AB = AH + BH = 4 + 1 = 5 \, \text{см}\).

4. Найдем \(BO\) из соотношения:
\(
BO^2 = AB \cdot BH = 5 \cdot 1 = 5
\)
Следовательно, \(BO = \sqrt{5}\).

5. Найдем \(AO\) из соотношения:
\(
AO^2 = AB \cdot AH = 5 \cdot 4 = 20
\)
Следовательно, \(AO = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

6. Теперь можем найти длины диагоналей:
\(
AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}
\)
\(
BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
\)

Ответ: \(AC = 4\sqrt{5} \, \text{см}; \, BD = 2\sqrt{5} \, \text{см}\).