ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 517 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

Краткий ответ:

Решение:
1) Рассмотрим окружность: диаметр AB;
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(R = \frac{1}{2}AB\);
2) В прямоугольном \(\triangle ACB\): высота CD, \(\angle C = 90^\circ\); \(CD^2 = AD \cdot BD\); \(10^2 = AD \cdot 4\); \(AD = \frac{100}{4} = 25\); \(AB = AD + BD \approx 29\); \(R = \frac{1}{2} \cdot 29 = 14,5\).

Ответ: 14,5 см.

Подробный ответ:

Решение:
Дано: диаметр окружности AB, высота CD перпендикулярна диаметру AB, CD = 10 см, BD = 4 см.
Требуется найти радиус окружности R.

1) Рассмотрим окружность с диаметром AB. Так как угол ACB вписанный и опирается на диаметр, то он равен \(\angle ACB = 90^\circ\).
2) Согласно свойству вписанных углов, опирающихся на диаметр, радиус окружности равен половине диаметра: \(R = \frac{1}{2}AB\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB. Высота CD перпендикулярна диаметру AB, значит \(\angle C = 90^\circ\).
4) Применим теорему Пифагора к треугольнику ACB: \(CD^2 = AD \cdot BD\).
5) Подставляя известные значения, получаем: \(10^2 = AD \cdot 4\), откуда \(AD = \frac{100}{4} = 25\).
6) Длина диаметра AB равна сумме отрезков AD и BD: \(AB = AD + BD \approx 29\).
7) Радиус окружности равен половине диаметра: \(R = \frac{1}{2} \cdot 29 = 14,5\).

Ответ: радиус окружности R = 14,5 см.

Оцени решение