ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 521 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25.

Краткий ответ:

Решение:
1) В трапеции ABCD: AB = CD, BE — высота, \(AE = \frac{1}{2}(AD — BC)\), \(DE = \frac{1}{2}(AD + BC)\)
2) В прямоугольном ΔABD: BE — высота, \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE^2 = AE \cdot DE\), \(BE^2 = \frac{1}{4}(AD — BC)(AD + BC)\), \(BE^2 = \frac{1}{4}(AD^2 — BC^2) = \frac{1}{4} \cdot 25 = 6.25\), \(BE = \sqrt{6.25} = 2.5\)
Ответ: 2,5 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Трапеция ABCD
— Высота трапеции BE
— AB = CD
— Угол между AB и BD равен 90°
— AD^2 — BC^2 = 25 см^2

Решение:
1) Найдем длины сторон AE и DE трапеции.
Поскольку AB = CD, то треугольники ADE и BCE подобны. Следовательно, \(AE = \frac{1}{2}(AD — BC)\) и \(DE = \frac{1}{2}(AD + BC)\).

2) Найдем площадь трапеции.
Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2}(AB + CD)h\), где h — высота трапеции BE.

3) Найдем высоту трапеции BE.
Поскольку треугольник ABD прямоугольный, можно использовать теорему Пифагора: \(AD^2 — BC^2 = AB^2\). Отсюда \(AB = \sqrt{AD^2 — BC^2} = \sqrt{25} = 5\) см.
Площадь трапеции \(S = \frac{1}{2}(AB + CD)h\) и \(S = \frac{1}{2}(5 + 5)h = 5h\). Таким образом, \(h = \frac{S}{5} = \frac{\sqrt{25}}{5} = \sqrt{5} = 2.5\) см.

Ответ: Высота трапеции BE равна 2,5 см.

Оцени решение