ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 522 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Решение:
1) Найдем радиус окружности: \(OE = OF = OH = R\)
2) Найдем площадь трапеции: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD — \)
\(-AB + BF + AH + CF + CE + DE + DH = \)
\(=40 + 40 + 8 + 8 + 50 + 50 = 196\) см

Ответ: 196 см.

Дано:
\(ABCD\) — трапеция,
\(\angle A = \angle B = 90^\circ\),
\(O\) — центр вписанной окружности,
\(E, F, G, H\) — точки касания,
\(CE = 8 \, \text{см}\),
\(DE = 50 \, \text{см}\).

Найти:
\(P_{ABCD}\).

Решение:

1) Рассмотрим окружность:
Радиусы окружности перпендикулярны сторонам трапеции:
\(OE \perp CD\), \(OF \perp BC\), \(OH \perp AD\).
Радиусы равны: \(OE = OF = OH = R\).
Точки касания разделяют стороны трапеции на равные отрезки:
\(CF = CE = 8 \, \text{см}\), \(DH = DE = 50 \, \text{см}\).
Также:
\(BF = BG\), \(AH = AG\).
Суммы отрезков равны длине основания:
\(BF + AH = BG + AG = AB\).

2) В трапеции \(ABCD\):
\(AD \parallel BC\), \(OF \perp BC\), \(OH \perp AD\).
Сумма углов при основании трапеции:
\(\angle C + \angle D = 180^\circ\).

3) Рассмотрим треугольник \(COD\):
\(CO\) и \(DO\) — биссектрисы углов \(\angle C\) и \(\angle D\):
\(\angle OCD = \frac{1}{2} \angle C\), \(\angle ODC = \frac{1}{2} \angle D\).
Сумма углов в треугольнике:
\(\angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ\).
Так как \(\angle C + \angle D = 180^\circ\):
\(\angle COD + 90^\circ = 180^\circ\),
\(\angle COD = 90^\circ\).

\(OE\) — высота треугольника \(COD\).
По формуле высоты:
\(OE^2 = CE \cdot DE\).
Подставим значения:
\(OE^2 = 8 \cdot 50 = 400\),
\(OE = \sqrt{400} = 20 \, \text{см}\).

4) В прямоугольнике \(BFHA\):
\(AB = FH = 2R\).
Подставим значение \(R = 20 \, \text{см}\):
\(AB = 2 \cdot 20 = 40 \, \text{см}\).

5) Найдём периметр трапеции \(ABCD\):
\(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\).
С учётом отрезков:
\(P_{ABCD} = AB + BF + AH + CF + CE + DE + DH\).
Подставим значения:
\(P_{ABCD} = 40 + 40 + 8 + 8 + 50 + 50 = 196 \, \text{см}\).

Ответ: \(196 \, \text{см}\).