ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 523 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:
1) Радиус окружности: \(OE = OF = OH = R\)
2) В трапеции ABCD:
\(AD \parallel BC, OE \perp BC, OF \perp AD\)
\(O \in EF, EF\) — высота
\(\angle A + \angle B = 180°\)
\(AO, BO\) — биссектрисы
\(\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A, \angle OBA = \frac{1}{2}\angle B\)
\(\angle OAB + \angle OBA = 90°\)
3) В треугольнике AOB:
\(\angle AOB + \angle AOB + \angle AOB = 180°\)
\(\angle AOB + 90° = 180°\)
\(\angle AOB = 90°, OH\) — высота
\(OH^2 = AH \cdot BH\)
\(OH^2 = 27 \cdot 3 = 81\)
\(OH = \sqrt{81} = 9\)
\(EF = OE + OF = 2OH = 18\)

Ответ: 18 см.

Дано: трапеция ABCD с вписанной окружностью, касательные к окружности в точках H, E, F. Известно, что AB = CD и ВН = 3 см, АН = 27 см. Требуется найти длину отрезка EF.

Решение:
1) Рассмотрим окружность, вписанную в трапецию ABCD. Радиус этой окружности равен \(R = OE = OF = OH\), так как точки O, E, F, H лежат на одной окружности.

2) В трапеции ABCD справедливы следующие соотношения:
— Прямые AD и BC параллельны, а прямые OE и OF перпендикулярны к ним: \(AD \parallel BC, OE \perp BC, OF \perp AD\)
— Точка O лежит на отрезке EF, который является высотой трапеции: \(O \in EF\)
— Сумма углов трапеции равна \(180°\): \(\angle A + \angle B = 180°\)
— Прямые AO и BO являются биссектрисами углов трапеции: \(AO, BO\) — биссектрисы
— Углы \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\) равны половине соответствующих углов трапеции: \(\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A, \angle OBA = \frac{1}{2}\angle B\)
— Сумма углов \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\) равна \(90°\): \(\angle OAB + \angle OBA = 90°\)

3) Рассмотрим треугольник AOB:
— Сумма углов треугольника равна \(180°\): \(\angle AOB + \angle AOB + \angle AOB = 180°\)
— Угол \(\angle AOB\) равен \(90°\), так как \(\angle OAB + 90° = 180°\)
— Следовательно, \(\angle AOB = 90°\), и OH является высотой треугольника AOB
— Используя теорему Пифагора, можно найти длину OH: \(OH^2 = AH \cdot BH\), где \(AH = 27\) см и \(BH = 3\) см, значит \(OH^2 = 27 \cdot 3 = 81\) и \(OH = \sqrt{81} = 9\) см

4) Наконец, длина отрезка EF равна сумме длин отрезков OE и OF, которые равны радиусу окружности R:
\(EF = OE + OF = 2OH = 2 \cdot 9 = 18\) см

Ответ: длина отрезка EF равна 18 см.