ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 526 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На сторонах AB, ВС, CD и AD квадрата ABCD отметили соответственно точки M, N, К и Е так, что четырехугольник MNKE является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника MNKE, если диагональ квадрата ABCD равна 7 см.
Решение:
1) В квадрате ABCD: \(\angle B = \angle C = 90^\circ\); BD = 2BI; AC, BD — биссектрисы; \(\angle ACB = \frac{1}{2}\angle C = 45^\circ\); \(\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B = 45^\circ\);
2) Для MN и AC и секущей BC: \(\angle BNM = \angle ACB = 45^\circ\);
3) В прямоугольном AMBN: \(\angle BNM = 45^\circ\); AMBN — равнобедренный; BG — биссектриса и медиана; BG = GM = GN;
4) Для NK и BD и секущей BC: \(\angle CNK = \angle DBC = 45^\circ\);
5) В прямоугольном ANCK: \(\angle CNK = 45^\circ\); ANCK — равнобедренный; CF — биссектриса и медиана; FN = FK;
6) В параллелограмме GNFI: GI = FN;
7) В прямоугольнике MNKE: MN = EK, NK = ME; MN = GM + GN = 2BG; NK = FN + FK = 2GI; P_MNKE = MN + NK + KE + ME; P_MNKE = 2MN + 2NK = 4BG + 4GI; P_MNKE = 4BI = 2BD = 2 \cdot 7 = 14.
Ответ: 14 см.
Решение:
Дано: четырехугольник ABCD является квадратом, а четырехугольник MNKE является прямоугольником. Известно, что MN параллельна AC, EK параллельна BD, и BD = 7 см.
1) Рассмотрим квадрат ABCD:
— Углы квадрата равны \(\angle B = \angle C = 90^\circ\), так как квадрат — это правильный четырехугольник.
— Диагонали AC и BD квадрата являются биссектрисами углов, поэтому \(\angle ACB = \frac{1}{2}\angle C = 45^\circ\) и \(\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B = 45^\circ\).
— Так как BD = 2BI, то BD = 2 \cdot 7 = 14 см.
2) Рассмотрим прямоугольник MNKE:
— Так как MN параллельна AC, а EK параллельна BD, то \(\angle BNM = \angle ACB = 45^\circ\).
3) Рассмотрим равнобедренный треугольник AMBN:
— Так как AMBN — прямоугольный треугольник, то \(\angle BNM = 45^\circ\).
— Биссектриса BG треугольника AMB является также медианой, поэтому BG = GM = GN.
4) Рассмотрим равнобедренный треугольник CNK:
— Так как CNK — прямоугольный треугольник, то \(\angle CNK = \angle DBC = 45^\circ\).
5) Рассмотрим равнобедренный треугольник ANCK:
— Так как ANCK — прямоугольный треугольник, то \(\angle CNK = 45^\circ\).
— Биссектриса CF треугольника ANC является также медианой, поэтому FN = FK.
6) Рассмотрим параллелограмм GNFI:
— Так как GI является диагональю параллелограмма, то GI = FN.
7) Рассмотрим прямоугольник MNKE:
— Так как MN параллельна EK, а NK параллельна ME, то MN = EK и NK = ME.
— Длина MN равна сумме GM и GN, то есть MN = GM + GN = 2BG.
— Длина NK равна сумме FN и FK, то есть NK = FN + FK = 2GI.
— Периметр прямоугольника MNKE равен сумме длин MN, NK, KE и ME:
\(P_{MNKE} = MN + NK + KE + ME\)
\(P_{MNKE} = 2MN + 2NK = 4BG + 4GI\)
\(P_{MNKE} = 4BI = 2BD = 2 \cdot 7 = 14\)
Ответ: Периметр прямоугольника MNKE равен 14 см.
