ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 527 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при большем основании пополам. Найдите дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из ее углов равен \(74°\).

Решение:
1) В трапеции ABCD: \(\angle A + 2\angle B = 180°\);
2) Рассмотрим окружность: \(\angle A + \angle C = 180°\), \(2\angle C = 2\angle B\); \(\angle BC = 2\angle BAC = \angle A = 74°\); \(\angle CD = 2\angle DAC = \angle A = 74°\);
3) В трапеции ABCD: \(\angle C = \angle B\), \(AB = CD\);
4) Рассмотрим окружность: \(AB = CD\), \(\angle AB =\angle CD = 74°\); \(\angle AB + \angle BC + \angle CD + \angle AD = 360°\); \(74° + 74° + 74° + \angle AD = 360°\); \(\angle AD = 360° — 222° = 138°\).

Ответ: \(74°\); \(74°\); \(74°\); \(138°\).

Дано:
— Четырехугольник ABCD является трапецией.
— Угол \(\angle BAC = \angle DAC\).
— Угол \(\angle A = 74°\).

Требуется найти:
— Угол \(\angle AB\)
— Угол \(\angle BC\)
— Угол \(\angle CD\)
— Угол \(\angle AD\)

Решение:

1. Рассмотрим сумму углов в трапеции ABCD:
\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 180°\)

2. Поскольку \(\angle BAC = \angle DAC\), то \(\angle B = \angle D\).
Следовательно, \(\angle A + 2\angle B = 180°\)

3. Рассмотрим окружность, описанную около трапеции ABCD:
— Угол в окружности, опирающийся на хорду AB, равен \(\angle BAC\).
— Угол в окружности, опирающийся на хорду CD, равен \(\angle DAC\).
— Так как \(\angle BAC = \angle DAC\), то \(\angle BAC + \angle DAC = 180°\)
— Следовательно, \(\angle A + \angle C = 180°\)

4. Из пункта 3 также следует, что \(2\angle C = 2\angle B\),
поэтому \(\angle BC = 2\angle BAC = \angle A = 74°\)
и \(\angle CD = 2\angle DAC = \angle A = 74°\)

5. Так как AB = CD (свойство трапеции), то \(\angle AB = \angle CD = 74°\)

6. Рассмотрим сумму всех внутренних углов четырехугольника ABCD:
\(\angle AB + \angle BC + \angle CD + \angle AD = 360°\)
Подставляя известные углы, получаем:
\(74° + 74° + 74° + \angle AD = 360°\)
Отсюда \(\angle AD = 360° — 222° = 138°\)

Ответ:
\(\angle AB = 74°\)
\(\angle BC = 74°\)
\(\angle CD = 74°\)
\(\angle AD = 138°\)