ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 528 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. Докажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем один является остроугольным.

У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели из этой вершины все диагонали: 1) Данная окружность описана около каждого из полученных показанным образом треугольников; 2) Центр описанной окружности всегда лежит внутри остроугольного и вне тупоугольного треугольников; 3) Так как окружность общая для всех треугольников, то центр является единственным и он может лежать внутри не более чем одного треугольника. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим вписанный в окружность многоугольник и выберем одну из его вершин. Из этой вершины проведем все диагонали многоугольника.

1) Каждый из полученных треугольников будет вписан в ту же самую окружность, что и исходный многоугольник. Это следует из того, что все стороны треугольников являются хордами исходной окружности.

2) Центр описанной окружности всегда лежит внутри остроугольных треугольников и вне тупоугольных треугольников. Это связано с тем, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на перпендикуляре, восстановленном из вершины треугольника к противолежащей стороне.

3) Так как окружность является общей для всех треугольников, ее центр является единственным. Этот центр может лежать внутри не более чем одного треугольника, поскольку в противном случае он не мог бы быть центром окружности, описанной около каждого из треугольников.

Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности является единственным и может лежать внутри не более чем одного из треугольников, полученных из вершины вписанного в окружность многоугольника.