ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 55 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что вершины \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) равноудалены от прямой \(AC\)

Решение:
1) В параллелограмме ABCD: AB = CD, AB || CD;
2) Для прямых АВ и CD и секущей АС: ∠BAC = ∠DCA;
3) Рассмотрим ΔABE и ΔCDF: ∠AEB = ∠CFD = 90°; ∠BAE = ∠DCF; ΔABE = ΔCDF — гипотенуза и угол; BE = DF.

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, BE перпендикулярна AC, а DF перпендикулярна AC.

Доказательство:
1) В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, то есть AB = CD.
2) Так как BE перпендикулярна AC, а DF перпендикулярна AC, то ∠BAE = ∠DCF = 90°.
3) Рассмотрим треугольники ABE и CDF. Они являются прямоугольными, так как содержат прямые углы ∠BAE и ∠DCF.
4) Так как AB = CD и ∠BAE = ∠DCF, то по признаку равенства прямоугольных треугольников ABE и CDF равны: AB = CD, BE = DF, ∠BAE = ∠DCF.
5) Следовательно, BE = DF.

Таким образом, мы доказали, что BE = DF.