ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 553 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведенная к его основанию, равна \(8 \text{ см}\), а радиус окружности, описанной около него, — \(5 \text{ см}\). Найдите боковую сторону треугольника.

Краткий ответ:

Дано: ΔАВС — равнобедренный, СН = 8 см, R = 5 см. Найти: AC.
Решение:
1) AO = BO = CO = 5 см
2) CH — высота и медиана
3) В ΔОВН: ОН = CH — ОС = 3 см, ОВ^2 = ОН^2 + ВН^2, ВН^2 = 16, ВН = 4 см
4) В ΔВСН: ВС^2 = CH^2 + ВН^2, ВС^2 = 64 + 16, ВС = \(4\sqrt{5}\) см
Ответ: AC = \(4\sqrt{5}\) см.

Подробный ответ:

Решение задачи:

Дано:
— ΔАВС — равнобедренный треугольник
— О — центр описанной окружности
— СН — высота треугольника, СН = 8 см
— R — радиус описанной окружности, R = 5 см

Найти: длину стороны AC.

Решение:
1. Рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника ΔАВС. Радиус этой окружности AO = BO = CO = 5 см.
2. Так как ΔАВС — равнобедренный, то высота СН является также медианой.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔОВН, где ОН — медиана и высота треугольника ΔАВС. Угол ВОН равен 90°.
4. В прямоугольном треугольнике ΔОВН:
\(ОН = СН — ОС = 8 — 5 = 3 см\)
\(ОВ^2 = ОН^2 + ВН^2\)
\(ОВ^2 = 3^2 + ВН^2\)
\(ОВ^2 = 9 + ВН^2\)
\(ВН^2 = ОВ^2 — 9 = 25 — 9 = 16\)
\(ВН = 4 см\)
5. В прямоугольном треугольнике ΔВСН:
\(ВС^2 = СН^2 + ВН^2\)
\(ВС^2 = 8^2 + 4^2\)
\(ВС^2 = 64 + 16\)
\(ВС^2 = 80\)
\(ВС = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} см\)

Ответ: длина стороны AC равна 4√5 см.

Оцени решение