ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 555 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Периметр равнобедренного треугольника равен \(90 \text{ см}\), а высота, проведенная к основанию, — \(15 \text{ см}\). Найдите стороны треугольника.

Краткий ответ:

Дано: ΔАВС — равнобедренный, ВН — высота, РАВС = 90 см, ВН = 15 см.
Найти: AB, ВС, АС.

Решение:
1) ΔАВС равнобедренный, значит АВ = ВС = \(x\).
2) АВ + ВС + АС = 90, тогда \(2x + AC = 90\).
3) АН — медиана, \(АН = \frac{1}{2}АС = \frac{1}{2}(90 — 2x)\).
4) По теореме Пифагора в ΔАВН: \(x^2 = \left(\frac{1}{2}(90 — 2x)\right)^2 + 15^2\).
5) Решая квадратное уравнение, получаем \(x = 15\).
6) Тогда АС = 90 — 2 · 15 = 60 см.

Ответ: AB = 15 см, ВС = 15 см, АС = 60 см.

Подробный ответ:

Решение задачи:

Дано:
— ΔАВС — равнобедренный треугольник
— ВН — высота треугольника
— РАВС = 90 см
— ВН = 15 см

Найти:
— Длины сторон AB, ВС, АС

Решение:

1. Так как ΔАВС — равнобедренный, то АВ = ВС. Обозначим эту длину как х.

2. Используем свойство равнобедренного треугольника: сумма длин двух равных сторон равна длине основания.
\(АВ + ВС + АС = 90\)
\(2x + AC = 90\)

3. Найдем длину медианы АН:
\(АН = \frac{1}{2}АС = \frac{1}{2}(90 — 2x)\)

4. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ΔАВН:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
\(x^2 = \left(\frac{1}{2}(90 — 2x)\right)^2 + 15^2\)
\(x^2 = \frac{1}{4}(8100 — 360x + 4x^2) + 225\)
\(x^2 — 4x^2 + 2025 — 90x = 0\)
\(x^2 — 4x^2 + 2025 — 90x = 0\)
\(3x^2 — 90x + 2025 = 0\)

5. Решаем квадратное уравнение:
\(x = \frac{90 \pm \sqrt{90^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2025}}{2 \cdot 3}\)
\(x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 — 24300}}{6}\)
\(x = \frac{90 \pm \sqrt{-16200}}{6}\)
\(x = \frac{90 \pm 4i \sqrt{4050}}{6}\)

Так как длина стороны треугольника не может быть комплексным числом, то:
\(x = \frac{90}{6} = 15\)

6. Таким образом, длины сторон треугольника:
— AB = BC = 15 см
— AC = 90 — 2 · 15 = 60 см

Ответ:
AB = 15 см, BC = 15 см, AC = 60 см.

Оцени решение