ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 56 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

1) В параллелограмме ABCD: АО = CO, ВС ∥ AD;
2) Для прямых ВС и AD и секущей АС: \(\angle CAD = \angle BCA\);
3) Рассмотрим \(\triangle AOF\) и \(\triangle COE\): \(\angle AOF = \angle COE\) (вертикальные), \(\triangle AOF = \triangle COE\) (второй признак), следовательно, \(OF = OE\).

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом. Требуется доказать, что \(OE = OF\).

Решение:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD параллельны. Следовательно, \(АО = СО\) и \(ВС \parallel AD\).
2) Рассмотрим треугольники АОС и АDС. Так как прямые ВС и AD пересекаются секущей АС, то \(\angle САD = \angle ВСА\) (накрест лежащие углы).
3) Рассмотрим треугольники АОF и СОЕ. Так как \(\angle АОF = \angle СОЕ\) (вертикальные углы) и \(\triangle АОF = \triangle СОЕ\) (второй признак равенства треугольников), то \(ОF = ОЕ\).

Таким образом, мы доказали, что \(OE = OF\), что и требовалось доказать.