ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 560 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки \(2 \text{ см} \text{ и } 6 \text{ см}\). Найдите стороны треугольника.

Краткий ответ:

Решение:
1) Окружность: CF = CE = 2, BD = BE = 6, AF = AD
2) В прямоугольном ΔABC: AB = AD + BD = AF + 6, AC = AF + CF = AF + 2, BC = CE + BE = 8
3) AB^2 = AC^2 + BC^2
4) (AF + 6)^2 = (AF + 2)^2 + 8^2
5) AF^2 + 12AF + 36 = AF^2 + 4AF + 68
6) 8AF = 32, AF = 4, AB = 10, AC = 6

Ответ: 6 см, 8 см, 10 см.

Подробный ответ:

Дано: ΔABC — описанный, CE = 2 см, BE = 6 см. Требуется найти длины сторон AB, BC, AC.

Решение:
1) Рассмотрим описанную окружность треугольника ΔABC. Так как треугольник ΔABC — описанный, то центр окружности O лежит в пересечении биссектрис треугольника. Следовательно, CF = CE = 2 см, BD = BE = 6 см, и AF = AD.

2) Используем свойства прямоугольного треугольника ΔABC:
AB = AD + BD = AF + 6
AC = AF + CF = AF + 2
BC = CE + BE = 8

3) Применим теорему Пифагора для ΔABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2
(AF + 6)^2 = (AF + 2)^2 + 8^2

4) Раскрывая скобки, получаем:
AF^2 + 12AF + 36 = AF^2 + 4AF + 68
8AF = 32
AF = 4

5) Подставляя найденное значение AF, вычисляем:
AB = AF + BD = 4 + 6 = 10
AC = AF + CF = 4 + 2 = 6
BC = CE + BE = 2 + 6 = 8

Ответ: AB = 10 см, BC = 8 см, AC = 6 см.

Оцени решение