ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 562 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной \(30 \text{ см} \text{ и } 40 \text{ см}\).

Решение:
В прямоугольном ΔАВС: АВ = АD + ВD = 70;
CD — биссектриса; \(AC = \frac{30}{40} \cdot BC = \frac{3}{4} \cdot BC\);
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\);
\(70^2 = \left(\frac{3}{4}BC\right)^2 + BC^2\);
\(4900 = \frac{9}{16}BC^2 + BC^2\);
\(\frac{25}{16}BC^2 = 4900\); \(BC = 56\);
\(AC = \frac{3}{4} \cdot 56 = 42\);
\(P_{ABC} = AB + BC + AC = 70 + 56 + 42 = 168\).

Ответ: 168 см.

Решение:

Дано:
— CD — биссектриса угла ∠ACB
— ∠ACB = 90°
— AD = 30 см
— BD = 40 см

Найти: Периметр треугольника ABC (PABC)

Решение:

1. Найдем длину стороны AB в прямоугольном треугольнике ABC:
\(AB = AD + BD = 30 + 40 = 70\) см

2. Найдем длину стороны BC, используя свойство биссектрисы:
\(\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} \Rightarrow AC = \frac{AD}{BD} \cdot BC = \frac{30}{40} \cdot BC = \frac{3}{4} \cdot BC\)
\(BC = \frac{4}{3} \cdot AC\)

3. Найдем длину стороны AC, используя теорему Пифагора:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(70^2 = AC^2 + \left(\frac{4}{3} \cdot AC\right)^2\)
\(4900 = AC^2 + \frac{16}{9} \cdot AC^2\)
\(4900 = \frac{25}{9} \cdot AC^2\)
\(AC^2 = \frac{4900 \cdot 9}{25} = 1764\)
\(AC = \sqrt{1764} = 42\) см

4. Найдем длину стороны BC:
\(BC = \frac{4}{3} \cdot AC = \frac{4}{3} \cdot 42 = 56\) см

5. Вычислим периметр треугольника ABC:
\(P_{ABC} = AB + BC + AC = 70 + 56 + 42 = 168\) см

Ответ: 168 см.