ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 564 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

(Старинная арабская задача.) На противоположных берегах реки растут друг против друга две пальмы. Высота одной из них равна \(30 \text{ локтей}\), высота другой — \(20 \text{ локтей}\), а расстояние между основаниями пальм — \(50 \text{ локтей}\). На вершине каждой пальмы сидит птица. Вдруг обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение:
1) В прямоугольном ΔBAE: \(BE^2 = AB^2 + AE^2\), \(DE^2 = 30^2 + AE^2\);
2) В прямоугольном ΔDCE: \(CE = AC — AE = 50 — AE\), \(DE^2 = CD^2 + CE^2\);
\(30^2 + AE^2 = 20^2 + (50 — AE)^2\), \(900 + AE^2 = 2900 — 100AE + AE^2\), \(100AE = 2000\), \(AE = 20\).
Ответ: 20 локтей.

Дано:
— AB ⊥ AC
— CD ⊥ AC
— AB = 30 локтей
— CD = 20 локтей
— AC = 50 локтей
— BE = DE

Решение:
Для нахождения длины AE будем использовать свойства прямоугольных треугольников.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBAE:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Таким образом, \(BE^2 = AB^2 + AE^2\) и \(DE^2 = AB^2 + AE^2\).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔDCE:
В прямоугольном треугольнике длина катета равна разности длин гипотенузы и противолежащего катета. Таким образом, \(CE = AC — AE\) и \(DE^2 = CD^2 + CE^2\).

3) Приравняем выражения для \(DE^2\) из первого и второго пунктов:
\(30^2 + AE^2 = 20^2 + (50 — AE)^2\)
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
\(900 + AE^2 = 400 + 2500 — 100AE + AE^2\)
\(500 = 100AE\)
\(AE = 5\)

Ответ: длина AE равна 20 локтей.