ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 565 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны \(12 \text{ см} \text{ и } 20 \text{ см}\), а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Дано: BC || AD, AB = CD = 20 см, BC = 12 см. Найти длину BD.

Решение:
1) Так как BD является биссектрисой угла B, то ∠ADB = ∠CBD = ∠ABD.
2) Треугольник ABD является равнобедренным, поэтому AB = AD = 20 см.
3) Высота трапеции BH = \(\frac{1}{2}(AD — BC) = \frac{1}{2}(20 — 12) = 4\) см.
4) В прямоугольном треугольнике ABH: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), откуда \(AH = \sqrt{20^2 — 4^2} = 8\sqrt{6}\) см.
5) В прямоугольном треугольнике DBH: \(BD^2 = BH^2 + DH^2\), где \(DH = AD — AH = 20 — 8\sqrt{6} = 16\) см, следовательно, \(BD = \sqrt{4^2 + 16^2} = 8\sqrt{10}\) см.

Ответ: BD = 8√10 см.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является трапецией
— Длина отрезка BD является биссектрисой угла B
— Высота трапеции обозначена как BH
— Длины сторон: AB = CD, AD = 20 см, BC = 12 см

Решение:

1) Так как четырехугольник ABCD является трапецией, то стороны BC и AD параллельны, то есть BC || AD.

2) Так как BD является биссектрисой угла B, то углы ∠ADB, ∠CBD и ∠ABD равны между собой, то есть ∠ADB = ∠CBD = ∠ABD.

3) Так как AB = CD, то треугольник ABD является равнобедренным, то есть AB = AD = 20 см.

4) Для нахождения высоты BH трапеции ABCD, можно использовать формулу: \(BH = \frac{1}{2}(AD — BC)\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(BH = \frac{1}{2}(20 — 12) = 4\) см

5) Для нахождения длины BD, можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(20^2 = AH^2 + 4^2\)
\(AH^2 = 20^2 — 4^2 = 384\)
\(AH = \sqrt{384} = 8\sqrt{6}\)

6) Теперь, зная высоту BH = 4 см и длину AH = 8√6 см, можно найти длину BD в прямоугольном треугольнике DBH:
\(DH = AD — AH = 20 — 8\sqrt{6} = 16\)
\(BD^2 = BH^2 + DH^2\)
\(BD^2 = 4^2 + 16^2 = 640\)
\(BD = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\)

Ответ: BD = 8√10 см.