ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 566 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Основания прямоугольной трапеции равны \(18 \text{ см} \text{ и } 12 \text{ см}\), а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Краткий ответ:

Решение:

1) В трапеции ABCD: BC || AD, ∠A = 90°;
2) Для BC и AD и секущей BD: ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB;
3) ABCD равнобедренный: CD = BC = 12;
4) В прямоугольнике ABCH: AH = BC = 12, AB = CH;
5) В прямоугольном ACHD: DH = AD — AH = 6; \(CD^2 = CH^2 + DH^2\); \(12^2 = CH^2 + 6^2\); \(144 = CH^2 + 36\); \(CH^2 = 108\), CH = \(\sqrt{108}\);
6) В прямоугольном ABAD: \(BD^2 = AB^2 + AD^2\); \(BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + 18^2\); \(BD^2 = 108 + 324\); \(BD^2 = 432\), BD = \(12\sqrt{3}\).
Ответ: \(12\sqrt{3}\) см.

Подробный ответ:

Решение:

Дано:
— Фигура ABCD является трапецией.
— BD — биссектриса угла ∠D.
— CH — высота трапеции.
— ∠A = 90°.
— AD = 18 см.
— BC = 12 см.

Шаг 1: Найдем, что BC || AD в трапеции ABCD.
Поскольку ∠A = 90°, то BC || AD согласно свойству трапеции.

Шаг 2: Найдем, что ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB.
Так как BD является биссектрисой угла ∠D, то ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB.

Шаг 3: Найдем, что ABCD является равнобедренной трапецией.
Поскольку BC = CD = 12 см, то ABCD является равнобедренной трапецией.

Шаг 4: Найдем, что AB = CH.
Так как ABCH является прямоугольником, то AB = CH.

Шаг 5: Найдем длину DH.
В прямоугольном треугольнике ACHD:
\(DH = AD — AH = 18 — 12 = 6\)

Шаг 6: Найдем \(CH^2\).
Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ACHD:
\(CD^2 = CH^2 + DH^2\)
\(12^2 = CH^2 + 6^2\)
\(144 = CH^2 + 36\)
\(CH^2 = 108\)
\(CH = \sqrt{108}\)

Шаг 7: Найдем \(BD^2\).
Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABAD:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2\)
\(BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + 18^2\)
\(BD^2 = 108 + 324\)
\(BD^2 = 432\)

Шаг 8: Найдем длину BD.
\(BD = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\)

Ответ: Длина BD равна \(12\sqrt{3}\) см.

Оцени решение