ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 567 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружности по разные стороны от ее центра проведены две параллельные хорды длиной \(16 \text{ см} \text{ и } 32 \text{ см}\). Расстояние между хордами равно \(16 \text{ см}\). Найдите радиус окружности.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(BO = DO = R\);
\(AB \perp OE\), \(CD \perp OF\); \(BE = \frac{1}{2}AB = 8\);
\(DF = \frac{1}{2}CD = 16\);
2) В прямоугольном \(\Delta BEO\):
\(BO^2 = BE^2 + EO^2\);
\(R^2 = 8^2 + EO^2\);
\(R^2 = 64 + EO^2\);
3) В прямоугольном \(\Delta DFO\):
\(OF = EF — EO = 16 — EO\);
\(DO^2 = DF^2 + OF^2\);
\(R^2 = 16^2 + (16 — EO)^2\);
\(64 + EO^2 = 512 — 32EO + EO^2\);
\(32EO = 448\), \(EO = 14\);
4) В прямоугольном \(\Delta BEO\):
\(R^2 = 64 + 14^2\);
\(R^2 = 64 + 196\);
\(R^2 = 260\), \(R = \sqrt{260}\).

Ответ: \(\sqrt{260}\) см.

Решение:
Дано: отрезки \(AB\) и \(CD\) параллельны, \(AB = 16\) см, \(CD = 32\) см, отрезок \(EF\) перпендикулярен \(AB\), \(EF = 16\) см. Требуется найти длину отрезка \(AO\).

1) Рассмотрим окружность, проведенную через точки \(A\), \(B\), \(O\) и \(D\). Радиус этой окружности равен \(R\), так как \(BO = DO = R\).

2) Из подобия треугольников \(AOB\) и \(COD\) следует, что \(AB \perp OE\) и \(CD \perp OF\). Тогда \(BE = \frac{1}{2}AB = 8\) см.

3) В прямоугольном треугольнике \(\Delta BEO\) имеем:
\(BO^2 = BE^2 + EO^2\)
\(R^2 = 8^2 + EO^2\)
\(R^2 = 64 + EO^2\)

4) В прямоугольном треугольнике \(\Delta DFO\) имеем:
\(OF = EF — EO = 16 — EO\)
\(DO^2 = DF^2 + OF^2\)
\(R^2 = 16^2 + (16 — EO)^2\)
\(64 + EO^2 = 512 — 32EO + EO^2\)
\(32EO = 448\), \(EO = 14\)

5) Вернемся к прямоугольному треугольнику \(\Delta BEO\):
\(R^2 = 64 + 14^2\)
\(R^2 = 64 + 196\)
\(R^2 = 260\), \(R = \sqrt{260}\)

Ответ: \(AO = \sqrt{260}\) см.