ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 568 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В окружности по одну сторону от ее центра проведены две параллельные хорды длиной \(48 \text{ см} \text{ и } 24 \text{ см}\). Расстояние между хордами равно \(12 \text{ см}\). Найдите радиус окружности.

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(BO = DO = R\); \(AB \perp OE\), \(CD \perp OF\); \(BE = \frac{1}{2}AB = 12\);
2) В прямоугольном \(\triangle ADFO\): \(DO^2 = OF^2 + DF^2\); \(R^2 = OF^2 + 24^2\); \(R^2 — OF^2 = 576\);
3) В прямоугольном \(\triangle BEO\): \(EO = EF + OF = 12 + OF\); \(BO^2 = BE^2 + EO^2\); \(R^2 = 12^2 + (12 + OF^2)\); \(R^2 = 144 + 144 + 240F + OF^2\); \(R^2 — OF^2 = 288 + 240F\); \(576 = 288 + 240F\); \(240F = 288\), \(OF = 12\);
4) В прямоугольном \(\triangle ADFO\): \(R^2 = OF^2 + 24^2\); \(R^2 = 12^2 + 24^2\); \(R^2 = 144 + 576\); \(R^2 = 720\), \(R = 12\sqrt{5}\).

Ответ: 12\(\sqrt{5}\) см.

Подробный ответ:

Решение:

Дано: отрезки \(AB\) и \(CD\) являются диаметрами окружности, \(AB = 24\) см, \(CD = 48\) см, отрезок \(EF\) перпендикулярен \(AB\) и \(EF = 12\) см. Необходимо найти длину отрезка \(AO\).

Рассмотрим окружность с центром в точке \(O\). Так как \(AB\) и \(CD\) являются диаметрами, то \(BO = DO = R\), где \(R\) — радиус окружности.

Из прямоугольного треугольника \(\triangle OEB\) имеем: \(BE = \frac{1}{2}AB = 12\) см.

Из прямоугольного треугольника \(\triangle ODF\) имеем: \(DF = \frac{1}{2}CD = 24\) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ADFO\):
1) Используя теорему Пифагора, получаем: \(DO^2 = OF^2 + DF^2\)
2) Подставляя известные значения, получаем: \(R^2 = OF^2 + 24^2\)
3) Вычитая \(OF^2\) из обеих частей, получаем: \(R^2 — OF^2 = 576\)

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BEO\):
1) Из условия \(EO = EF + OF\), следует \(EO = 12 + OF\)
2) Используя теорему Пифагора, получаем: \(BO^2 = BE^2 + EO^2\)
3) Подставляя известные значения, получаем: \(R^2 = 12^2 + (12 + OF^2)\)
4) Упрощая, получаем: \(R^2 = 144 + 144 + 240F + OF^2\)
5) Вычитая \(OF^2\) из обеих частей, получаем: \(R^2 — OF^2 = 288 + 240F\)
6) Приравнивая правые части уравнений из пункта 3 и пункта 5, получаем: \(576 = 288 + 240F\)
7) Решая уравнение, находим: \(240F = 288\), \(OF = 12\)

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ADFO\) еще раз:
1) Используя теорему Пифагора, получаем: \(R^2 = OF^2 + 24^2\)
2) Подставляя известные значения, получаем: \(R^2 = 12^2 + 24^2\)
3) Упрощая, получаем: \(R^2 = 144 + 576\)
4) Следовательно, \(R^2 = 720\), \(R = 12\sqrt{5}\).

Ответ: \(AO = 12\sqrt{5}\) см.

Оцени решение