ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 569 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен \(12 \text{ см}\), а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — \(20 \text{ см}\). Найдите периметр данного треугольника.

Решение задачи:

1) Рассмотрим окружность, центр которой обозначен точкой O. Точки A, B и C являются вершинами равнобедренного треугольника ABC. Отрезки AO и BO являются биссектрисами треугольника.

2) Из условия задачи известно, что ΔABC — равнобедренный, то есть AB = BC. Также известно, что BO является биссектрисой и высотой треугольника, а точка D лежит на продолжении отрезка BO.

3) В треугольнике DAB, AO является биссектрисой, поэтому \(AD/AB = AB/DO\). Так как AB = 5/3 · AD, то \(AB = 5/3 \cdot AD\).

4) В прямоугольном треугольнике ABD, согласно теореме Пифагора, имеем \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). Подставляя значение AB, получаем \(\left(\frac{5}{3}AD\right)^2 = AD^2 + BD^2\), откуда \(BD = 32\) см.

5) Зная длины сторон треугольника ABC, можно найти его площадь по формуле \(P_{ABC} = AB + BC + AC\), где \(AB = 40\) см, \(BC = 40\) см и \(AC = 48\) см. Таким образом, \(P_{ABC} = 40 + 40 + 48 = 128\) см².

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 128 см².

Решение:

1) Рассмотрим окружность с центром в точке O. Точки A, B и C образуют равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC.

2) В треугольнике DAB, AO является биссектрисой, поэтому \(AD/AB = AB/DO\). Следовательно, \(AB = 5/3 \cdot AD\).

3) В прямоугольном треугольнике ABD, согласно теореме Пифагора, имеем \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). Подставляя значение AB, получаем \(\left(\frac{5}{3}AD\right)^2 = AD^2 + BD^2\), откуда \(BD = 32\) см.

4) Зная длины сторон треугольника ABC, можно найти его площадь по формуле \(P_{ABC} = AB + BC + AC\), где \(AB = 40\) см, \(BC = 40\) см и \(AC = 48\) см. Таким образом, \(P_{ABC} = 40 + 40 + 48 = 128\) см².

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \(P_{ABC} = 128\) см².