ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 57 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(24\) см, \(\angle ABC = 160^\circ\), диагональ \(AC\) образует со стороной \(AD\) угол \(10^\circ\). Найдите стороны параллелограмма.
1) В параллелограмме ABCD: \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), \(\angle A + 160^\circ = 180^\circ\), \(\angle C = \angle A = 20^\circ\), \(\angle D = \angle B = 160^\circ\), AB = CD, BC = AD.
2) В треугольнике ADC: \(\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ\), \(10^\circ + \angle ACD + 160^\circ = 180^\circ\), \(\angle ACD = 10^\circ = \angle CAD\), \(\triangle ADC\) — равнобедренный, AD = CD = AB = BC.
3) Периметр ABCD: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\), \(AB + AB + AB + AB = 24\), \(4AB = 24\), \(AB = 6\).
Ответ: 6 см.
Дано: параллелограмм ABCD, \(\angle ABC = 160^\circ\), \(\angle CAD = 10^\circ\), \(P_{ABCD} = 24\) см.
Решение:
1) Рассмотрим свойства параллелограмма ABCD:
— Сумма противоположных углов в параллелограмме равна \(180^\circ\):
\(\angle A + \angle B = 180^\circ\)
— Так как \(\angle ABC = 160^\circ\), то:
\(\angle A + 160^\circ = 180^\circ\)
\(\angle A = 20^\circ\)
— Так как \(\angle A = \angle C\) (противоположные углы в параллелограмме равны), то:
\(\angle C = 20^\circ\)
— Так как \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) (противоположные углы в параллелограмме равны), то:
\(\angle B = \angle D = 160^\circ\)
— Из свойств параллелограмма следует, что AB = CD и BC = AD.
2) Рассмотрим свойства треугольника ADC:
— Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\):
\(\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ\)
— Так как \(\angle CAD = 10^\circ\) и \(\angle ACD + \angle ADC = 170^\circ\), то:
\(\angle ACD + 160^\circ = 180^\circ\)
\(\angle ACD = 20^\circ\)
— Так как \(\angle ACD = \angle CAD\) (вертикальные углы равны), то:
\(\angle ACD = \angle CAD = 10^\circ\)
— Треугольник ADC — равнобедренный, так как \(\angle ACD = \angle CAD\), значит AD = CD.
— Из свойств равнобедренного треугольника следует, что AD = CD = AB = BC.
3) Найдем периметр параллелограмма ABCD:
\(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\)
Так как AB = CD и BC = AD, то:
\(P_{ABCD} = AB + AB + AB + AB = 4AB\)
Из условия \(P_{ABCD} = 24\) см, получаем:
\(4AB = 24\)
\(AB = 6\) см
Ответ: 6 см.
