ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 570 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее большее основание на отрезки длиной \(20 \text{ см} \text{ и } 25 \text{ см}\), считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.
1) Рассмотрим окружность:
Центр \( O \), радиус \( R = OE = OF = OH = OG \).
Отрезки \( OE, OF, OG \) перпендикулярны сторонам \( CD, BC, AB \) соответственно.
\( CF = CE, DH = DE = 25 \), \( BF = BG, AH = AG = 20 \).
\( BF + AH = BG + AG = AB \).
2) В трапеции \( ABCD \):
\( AD \parallel BC, OF \perp BC, OH \perp AD \).
\( \angle EOF + \angle ODC = 180^\circ \).
\( CO \) и \( DO \) — биссектрисы трапеции.
\( \angle OCD = \frac{1}{2}\angle C, \angle ODC = \frac{1}{2}\angle D \).
\( \angle OCD + \angle ODC = 90^\circ \).
3) В прямоугольнике \( BFHA \):
\( AB = BF + AH = 40 \), \( FH = AB = 40 \), \( OG = AH = 20 \).
4) В треугольнике \( COD \):
\( \angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ \).
\( \angle COD + 90^\circ = 180^\circ \), \( \angle COD = 90^\circ \).
5) В прямоугольном \( \triangle OED \):
\( OD^2 = DE^2 + OE^2 \).
\( OD^2 = 25^2 + 20^2 \).
\( OD^2 = 625 + 400 \).
\( OD^2 = 1025, OD = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41} \).
6) В прямоугольном \( \triangle ACOF \):
\( OC^2 = CF^2 + OF^2 \).
\( OC^2 = CE^2 + 20^2 \).
\( OC^2 — CE^2 = 400 \).
7) В прямоугольном \( \triangle AOD \):
\( CD = DE + CE = 25 + CE \).
\( CD^2 = OD^2 + OC^2 \).
\( (25 + CE)^2 = (5\sqrt{41})^2 + OC^2 \).
\( 625 + 50CE + CE^2 = 1025 + OC^2 \).
\( OC^2 — CE^2 = 50CE — 400 \).
\( 400 = 50CE — 400 \).
\( 50CE = 800, CE = 16 \).
8) В трапеции \( ABCD \):
\( P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD \).
\( AB + BF + AH + CF + CE + DE + DH =\)
\(=40 + 40 + 16 + 16 + 25 + 25 = 162 \).
Ответ: \( 162 \, \text{см} \).
1) Рассмотрим окружность:
Центр окружности \( O \), радиус \( R = OE = OF = OH = OG \).
Отрезки \( OE, OF, OG \) перпендикулярны сторонам \( CD, BC, AB \) соответственно.
Длины отрезков: \( CF = CE \), \( DH = DE = 25 \), \( BF = BG \), \( AH = AG = 20 \).
Суммы отрезков: \( BF + AH = BG + AG = AB \).
2) В трапеции \( ABCD \):
Стороны \( AD \parallel BC \), \( OF \perp BC \), \( OH \perp AD \).
Сумма углов \( \angle EOF + \angle ODC = 180^\circ \).
Отрезки \( CO \) и \( DO \) являются биссектрисами трапеции.
Углы: \( \angle OCD = \frac{1}{2}\angle C \), \( \angle ODC = \frac{1}{2}\angle D \).
Сумма углов: \( \angle OCD + \angle ODC = 90^\circ \).
3) В прямоугольнике \( BFHA \):
Сторона \( AB = BF + AH = 40 \).
Противоположные стороны равны: \( FH = AB = 40 \).
Длина отрезка \( OG = AH = 20 \).
4) В треугольнике \( COD \):
Сумма углов: \( \angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ \).
Так как \( \angle OCD + \angle ODC = 90^\circ \), то \( \angle COD + 90^\circ = 180^\circ \), следовательно, \( \angle COD = 90^\circ \).
5) В прямоугольном треугольнике \( \triangle OED \):
По теореме Пифагора: \( OD^2 = DE^2 + OE^2 \).
Подставляем длины: \( OD^2 = 25^2 + 20^2 \).
Вычисляем: \( OD^2 = 625 + 400 \).
Получаем: \( OD^2 = 1025 \), следовательно, \( OD = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41} \).
6) В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACOF \):
По теореме Пифагора: \( OC^2 = CF^2 + OF^2 \).
Так как \( CF = CE \), то \( OC^2 = CE^2 + 20^2 \).
Вычитаем: \( OC^2 — CE^2 = 400 \).
7) В прямоугольном треугольнике \( \triangle AOD \):
Длина стороны \( CD = DE + CE = 25 + CE \).
По теореме Пифагора: \( CD^2 = OD^2 + OC^2 \).
Подставляем: \( (25 + CE)^2 = (5\sqrt{41})^2 + OC^2 \).
Раскрываем скобки: \( 625 + 50CE + CE^2 = 1025 + OC^2 \).
Подставляем \( OC^2 — CE^2 = 400 \): \( 625 + 50CE + CE^2 = 1025 + 400 + CE^2 \).
Сокращаем: \( 400 = 50CE — 400 \).
Решаем уравнение: \( 50CE = 800 \), \( CE = 16 \).
8) В трапеции \( ABCD \):
Периметр \( P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD \).
Подставляем: \( AB + BF + AH + CF + CE + DE + DH = 40 + 40 + 16 + 16 + 25 + 25 \).
Суммируем: \( P_{ABCD} = 162 \).
Ответ: \( 162 \, \text{см} \).
