ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 571 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее меньшее основание на отрезки длиной \(6 \text{ см} \text{ и } 3 \text{ см}\), считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Краткий ответ:

Решение:

1) Окружность: OE = OF = OH = OG = R
2) Трапеция ABCD: AD ‖ BC, OF ⊥ BC, OH ⊥ AD, ∠OEF + ∠ODE = 180°, CO и DO — биссектрисы, ∠OCD = 1/2∠C, ∠ODC = 1/2∠D, ∠OCD + ∠ODC = 90°
3) Прямоугольник BFHA: AB = BF + AH = 12, FH = AB = 12, OG = BF = 6
4) Треугольник COD: ∠COD + ∠ODC + ∠DOC = 180°, ∠COD + 90° = 180°, ∠COD = 90°
5) Прямоугольный ΔCOE: \(OC^2 = CE^2 + OE^2\), \(OC^2 = 3^2 + 6^2\), \(OC^2 = 45\), \(OC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
6) Прямоугольный ΔOHD: \(OD^2 = OH^2 + DH^2\), \(OD^2 — DE^2 = 36\)
7) Прямоугольный ΔAOD: \(CD = CE + DE\), \((3 + DE)^2 = OD^2 + (3\sqrt{5})^2\), \(OD^2 — DE^2 = 6DE — 36\), \(6DE = 72\), \(DE = 12\)
8) Периметр трапеции ABCD: P_ABCD = 12 + 12 + 3 + 3 + 12 + 12 = 54 см

Ответ: 54 см.

Подробный ответ:

Решение задачи:

1) Рассмотрим окружность:
— OE = OF = OH = OG = R (радиус окружности)
— OE ⊥ CD, OF ⊥ BC
— OG ⊥ AB, OH ⊥ AD
— CF = CE = 3, DH = DE
— BF = BG = 6, AH = AG
— BF + AH = BG + AG = AB

2) В трапеции ABCD:
— AD ‖ BC, OF ⊥ BC, OH ⊥ AD
— ∠OEF + ∠ODE = 180°
— CO, DO — биссектрисы
— ∠OCD = 1/2∠C, ∠ODC = 1/2∠D
— ∠OCD + ∠ODC = 90°

3) В прямоугольнике BFHA:
— AB = BF + AH = 12
— FH = AB = 12
— OG = BF = 6

4) В треугольнике COD:
— ∠COD + ∠ODC + ∠DOC = 180°
— ∠COD + 90° = 180°, ∠COD = 90°

5) В прямоугольном ΔCOE:
— OC^2 = CE^2 + OE^2
— OC^2 = 3^2 + 6^2
— OC^2 = 9 + 36
— OC^2 = 45, OC = √45 = 3√5

6) В прямоугольном ΔOHD:
— OD^2 = OH^2 + DH^2
— OD^2 = 6^2 + DE^2
— OD^2 — DE^2 = 36

7) В прямоугольном ΔAOD:
— CD = CE + DE = 3 + DE
— CD^2 = OD^2 + OC^2
— (3 + DE)^2 = OD^2 + (3√5)^2
— 9 + 6DE + DE^2 = OD^2 + 45
— OD^2 — DE^2 = 6DE — 36
— 36 = 6DE — 36
— 6DE = 72, DE = 12

8) В трапеции ABCD:
— P_ABCD = AB + BC + CD + AD — AB + BF + AH + CF + CE + DE + DH
— P_ABCD = 12 + 12 + 3 + 3 + 12 + 12 = 54

Ответ: Периметр трапеции ABCD равен 54 см.

Оцени решение