ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 572 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Катеты прямоугольного треугольника равны \(18 \text{ см} \text{ и } 24 \text{ см}\). Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины меньшего острого угла.

Краткий ответ:

Решение:

1) В прямоугольном ΔАВС: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), \(AB^2 = 18^2 + 24^2\), \(AB^2 = 324 + 576\), \(AB^2 = 900\), \(AB = 30\); BD — биссектриса; \(\frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC} = \frac{AD}{CD}\), \(AD = \frac{5}{4}CD\), \(AD = \frac{5}{4}CD\); \(AC = AD + CD\), \(18 = \frac{5}{4}CD + CD\), \(\frac{9}{4}CD = 18\), \(CD = 8\);
2) В прямоугольном ΔDCB: \(BD^2 = CD^2 + BC^2\), \(BD^2 = 8^2 + 24^2\), \(BD^2 = 64 + 576\), \(BD^2 = 640\), \(BD = 8\sqrt{10}\).
Ответ: 8\(\sqrt{10}\) см.

Подробный ответ:

Дано:
— BD — биссектриса угла ∠ABC
— ∠ACB = 90°
— AC = 18 см
— BC = 24 см

Решение:
1) Найдем длину стороны AB в прямоугольном треугольнике ΔABC, используя теорему Пифагора:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB^2 = 18^2 + 24^2\)
\(AB^2 = 324 + 576\)
\(AB^2 = 900\)
\(AB = 30\) см

2) Так как BD является биссектрисой угла ∠ABC, то согласно свойствам биссектрисы:
\(\frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC}\)
\(\frac{AD}{30} = \frac{CD}{24}\)
\(AD = \frac{5}{4}CD\)

3) Найдем длину отрезка CD, используя формулу для нахождения длины отрезка в треугольнике:
\(AC = AD + CD\)
\(18 = \frac{5}{4}CD + CD\)
\(\frac{9}{4}CD = 18\)
\(CD = 8\) см

4) Теперь найдем длину отрезка BD, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ΔBCD:
\(BD^2 = CD^2 + BC^2\)
\(BD^2 = 8^2 + 24^2\)
\(BD^2 = 64 + 576\)
\(BD^2 = 640\)
\(BD = 8\sqrt{10}\) см

Ответ: 8\(\sqrt{10}\) см.

Оцени решение