ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 573 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медианы \(АМ \text{ и } СК\) треугольника \(АВС\) перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если \(АМ = 9 \text{ см} \text{ и } СК = 12 \text{ см}\)

Решение:

1) В треугольнике АВС: АМ, СК — медианы; \(AO = \frac{2}{3}AM = 6\); \(CO = \frac{2}{3}CK = 8\); \(OK = CK — OC = 4\); \(OM = AM — AO = 3\); \(AB = 2AK\), \(BC = 2CM\);
2) В прямоугольном ΔАОК: \(AK^2 = AO^2 + OK^2\); \(AK^2 = 6^2 + 4^2\); \(AK^2 = 36 + 16\); \(AK^2 = 52\), \(AK = \sqrt{52}\); \(AB = 2\sqrt{52}\);
3) В прямоугольном ΔМОС: \(MC^2 = OM^2 + CO^2\); \(MC^2 = 3^2 + 8^2\); \(MC^2 = 9 + 64\); \(MC^2 = 73\), \(MC = \sqrt{73}\); \(BC = 2\sqrt{73}\);
4) В прямоугольном ΔАОС: \(AC^2 = AO^2 + CO^2\); \(AC^2 = 6^2 + 8^2\); \(AC^2 = 36 + 64\); \(AC^2 = 100\), \(AC = 10\);
Ответ: \(2\sqrt{52}\) см; \(2\sqrt{73}\) см; 10 см.

Дано: медианы АМ и СК треугольника АВС, где \(AM = 9\) см и \(CK = 12\) см.

Решение:
1) Найдем длину отрезка АО, который является 2/3 от длины медианы АМ:
\(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) см

2) Найдем длину отрезка СО, который является 2/3 от длины медианы СК:
\(CO = \frac{2}{3}CK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) см

3) Найдем длину отрезка ОК, который равен разности длин СК и СО:
\(OK = CK — OC = 12 — 8 = 4\) см

4) Найдем длину отрезка ОМ, который равен разности длин АМ и АО:
\(OM = AM — AO = 9 — 6 = 3\) см

5) Найдем длину стороны АВ, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике АОК:
\(AK^2 = AO^2 + OK^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\)
\(AK = \sqrt{52}\)
\(AB = 2AK = 2\sqrt{52}\) см

6) Найдем длину стороны ВС, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике МОС:
\(MC^2 = OM^2 + CO^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73\)
\(MC = \sqrt{73}\)
\(BC = 2MC = 2\sqrt{73}\) см

7) Найдем длину стороны АС, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике АОС:
\(AC^2 = AO^2 + CO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(AC = \sqrt{100} = 10\) см

Ответ: \(2\sqrt{52}\) см; \(2\sqrt{73}\) см; 10 см.