ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 583 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
1) \(cos^2 45° + \tan^2 60°\); 2) \(2 \cos^2 60° — \sin^2 30° + \sin 60° \cot 60°\).

Решение:
1) \(cos^2 45° + tg^2 60° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (\sqrt{3})^2 = \frac{2}{4} + 3 = 3.5\)
Ответ: 3.5.

2) \(2 cos^2 60° — sin^2 30° + sin 60° \cdot ctg 60° = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} =\)
\(= \frac{1}{2} — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)
Ответ: \(\frac{3}{4}\).

Решение:

1) Найдём значение выражения \(cos^2 45° + tg^2 60°\):
— Для \(cos 45°\) мы знаем, что \(cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(cos^2 45° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
— Для \(tg 60°\) мы знаем, что \(tg 60° = \sqrt{3}\), поэтому \(tg^2 60° = (\sqrt{3})^2 = 3\).
— Подставляя эти значения, получаем: \(cos^2 45° + tg^2 60° = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} = 3.5\).
Ответ: 3.5.

2) Найдём значение выражения \(2 cos^2 60° — sin^2 30° + sin 60° \cdot ctg 60°\):
— Для \(cos 60°\) мы знаем, что \(cos 60° = \frac{1}{2}\), поэтому \(cos^2 60° = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
— Для \(sin 30°\) мы знаем, что \(sin 30° = \frac{1}{2}\), поэтому \(sin^2 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
— Для \(sin 60°\) мы знаем, что \(sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
— Для \(ctg 60°\) мы знаем, что \(ctg 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
— Подставляя эти значения, получаем:
\(2 cos^2 60° — sin^2 30° + sin 60° \cdot ctg 60° = 2 \cdot \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} =\)
\(= \frac{1}{2} — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\).
Ответ: \(\frac{3}{4}\).