ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 589 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс другого острого угла этого треугольника.

Решение:
1) Сумма углов треугольника: \(a + b = 90°, b = 90° — a\)
2) Тригонометрические функции:
\(\cos b = \cos(90° — a) = \sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sin b = \sqrt{1 — \cos^2 b} = \sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\tan b = \frac{\sin b}{\cos b} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\)
\(\cot b = \frac{1}{\tan b} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Рассмотрим задачу о нахождении углов и тригонометрических функций треугольника.

Дано:
— Треугольник с углами \(a\) и \(b\).
— Известно, что сумма углов треугольника равна \(180°\), то есть \(a + b = 90°\).
— Также известно, что \(b = 90° — a\).

1. Нахождение синуса угла \(a\):
Из условия задачи следует, что \(b = 90° — a\). Подставляя это в формулу \(\sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

2. Нахождение косинуса угла \(b\):
Используя формулу \(\cos b = \cos(90° — a) = \sin a\), получаем \(\cos b = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

3. Нахождение синуса угла \(b\):
Применяя формулу \(\sin b = \sqrt{1 — \cos^2 b}\), имеем \(\sin b = \sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

4. Нахождение тангенса угла \(b\):
Используя определение тангенса, получаем \(\tan b = \frac{\sin b}{\cos b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{2}\).

5. Нахождение котангенса угла \(b\):
Применяя формулу \(\cot b = \frac{1}{\tan b}\), имеем \(\cot b = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, ответ:
\(\sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cos b = \frac{\sqrt{3}}{3}, \sin b = \frac{\sqrt{6}}{3}, \tan b = \sqrt{2}, \cot b = \frac{1}{\sqrt{2}}\).