ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 59 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите углы параллелограмма \(ABCD\), если \(BD \perp AB\) и \(BD = AB\).
1) Треугольник ABD равнобедренный: \(\angle BAD = \angle BDA\), \(\angle BAD + \angle BDA + \angle ABD = 180^\circ\), \(\angle BAD + 2\angle BAD + 90^\circ = 180^\circ\), \(2\angle BAD = 90^\circ\), \(\angle BAD = 45^\circ\)
2) В параллелограмме ABCD: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), \(45^\circ + 2\angle B = 180^\circ\), \(\angle B = 135^\circ\)
Ответ: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 135^\circ\).
Решение:
Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— Отрезок BD перпендикулярен отрезку AB.
— Длины сторон BD и AB равны.
Нужно найти:
— Величину угла \(\angle A\)
— Величину угла \(\angle B\)
Решение:
1) Так как четырехугольник ABCD является параллелограммом, то противоположные стороны AB и CD, а также AD и BC, параллельны. Кроме того, противоположные стороны параллелограмма равны.
2) Поскольку отрезок BD перпендикулярен отрезку AB, то треугольник ABD является прямоугольным. Следовательно, \(\angle BAD\) является острым углом.
3) Так как BD = AB, то треугольник ABD является равнобедренным. Это означает, что \(\angle BAD = \angle BDA\).
4) Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Поэтому \(\angle BAD + \angle BDA + \angle ABD = 180^\circ\).
5) Из пункта 3 следует, что \(\angle BAD = \angle BDA\). Следовательно, \(2\angle BAD + \angle ABD = 180^\circ\).
6) Так как \(\angle BAD\) является острым углом, то \(2\angle BAD < 180^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD > 90^\circ\).
7) В параллелограмме ABCD противоположные углы равны. Поэтому \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).
8) Сумма углов в параллелограмме равна \(360^\circ\). Следовательно, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
9) Из пункта 6 следует, что \(\angle ABD > 90^\circ\). Поэтому \(\angle A > 90^\circ\) и \(\angle B < 90^\circ\). 10) Таким образом, \(\angle A = 45^\circ\) и \(\angle B = 135^\circ\). Ответ: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 135^\circ\).
