ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 592 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите углы ромба, диагонали которого равны \(4 \text{ см}\) и \(\frac{4}{\sqrt{3}} \text{ см}\).

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\)
2) В прямоугольном \(\Delta AOB\):
\(\tan \angle A = \frac{BO}{AO} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\tan \angle B = \frac{AO}{BO} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3}\)
3) Таким образом, \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\)
4) Следовательно, \(\angle C = 60^\circ\), \(\angle D = 120^\circ\)

Ответ: \(60^\circ, 120^\circ\)

Решение:

Дано: ABCD — ромб, AC = 4√3 см, BD = 4 см.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где точка O — центр ромба ABCD.
2) Так как ABCD — ромб, то стороны AB и CD равны, а углы A, B, C и D попарно равны.
3) Из прямоугольного треугольника AOB имеем:
\(\tan \angle A = \frac{BO}{AO}\)
\(\tan \angle B = \frac{AO}{BO}\)
4) Так как AB = CD = 4√3 см и BD = 4 см, то:
\(AO = \frac{1}{2}AC = 2\sqrt{3}\text{ см}\)
\(BO = \frac{1}{2}BD = 2\text{ см}\)
5) Подставляя значения в формулы тангенса, получаем:
\(\tan \angle A = \frac{BO}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\tan \angle B = \frac{AO}{BO} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)
6) Из этого следует, что \(\angle A = 30^\circ\) и \(\angle B = 60^\circ\).
7) Так как ABCD — ромб, то \(\angle C = 60^\circ\) и \(\angle D = 120^\circ\).

Ответ: \(60^\circ, 120^\circ\)