ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 597 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество:
1) \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
2) \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\)

1) \(1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}\) — используя тригонометрические соотношения \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\) и \(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a\), получаем \(1 + \tan^2 a = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a}\).

2) \(1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}\) — используя тригонометрические соотношения \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) и \(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a\), получаем \(1 + \cot^2 a = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a}\).

Доказательство тождеств:

1) Доказательство тождества \(1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}\):
Используем тригонометрические соотношения:
\(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\)
\(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a\)
Преобразуем левую часть тождества:
\(1 + \tan^2 a = 1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a}\)
Таким образом, тождество доказано.

2) Доказательство тождества \(1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}\):
Используем тригонометрические соотношения:
\(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)
\(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a\)
Преобразуем левую часть тождества:
\(1 + \cot^2 a = 1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a}\)
Таким образом, тождество доказано.