ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 598 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите значение выражения:

1) \(\sin^2 18° + \sin^2 72°\);

2) \(\cos^3 36° — \sin^3 54°\).

Краткий ответ:

Решение:
1) \(sin^2 18° + sin^2 72° = sin^2 18° + sin^2(90° — 18°) = sin^2 18° + cos^2 18° = 1\)
Ответ: 1.

2) \(cos^3 36° — sin^3 54° = cos^3 36° — sin^3(90° — 36°) = cos^3 36° — cos^3 36° = 0\)
Ответ: 0.

Подробный ответ:

Рассмотрим первое выражение:
\(sin^2 18° + sin^2 72° = sin^2 18° + sin^2(90° — 18°)\)
Согласно свойству тригонометрических функций, \(sin(90° — x) = cos(x)\). Поэтому:
\(sin^2 18° + sin^2(90° — 18°) = sin^2 18° + cos^2 18°\)
Используя тригонометрическое тождество \(sin^2 x + cos^2 x = 1\), получаем:
\(sin^2 18° + cos^2 18° = 1\)

Теперь рассмотрим второе выражение:
\(cos^3 36° — sin^3 54°\)
Применяя свойство \(sin(90° — x) = cos(x)\), имеем:
\(cos^3 36° — sin^3(90° — 36°) = cos^3 36° — cos^3 36°\)
Используя тождество \(cos^3 x — cos^3 y = (cos x — cos y)(cos^2 x + cos x cos y + cos^2 y)\), получаем:
\(cos^3 36° — cos^3 36° = 0\)

Таким образом, ответы совпадают с примером:
1) \(sin^2 18° + sin^2 72° = 1\)
2) \(cos^3 36° — sin^3 54° = 0\)

Оцени решение