ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 599 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Катеты прямоугольного треугольника равны \(30 \text{ см}\) и \(40 \text{ см}\). Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе.

Краткий ответ:

Дано: прямоугольный ΔАВС, где АС = 30 см, ВС = 40 см, ∠С = 90°. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла МСН.

Решение:
1) В ΔАВС: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), \(AB^2 = 30^2 + 40^2\), \(AB^2 = 900 + 1600\), \(AB^2 = 2500\), \(AB = 50\); СМ — медиана, \(CM = \frac{1}{2}AB = 25\);
2) В ΔАВС: \(AC^2 = AH \cdot AB\), \(30^2 = AH \cdot 50\), \(AH = \frac{900}{50} = 18\); \(BH = AB — AH = 32\), \(CH^2 = AH \cdot BH\), \(CH^2 = 18 \cdot 32 = 576\), \(CH = \sqrt{576} = 24\);
3) В ΔМСН: \(\sin \angle MCH = \frac{MH}{MC} = \frac{7}{25} = 0.28\), \(\cos \angle MCH = \frac{CH}{MC} = \frac{24}{25} = 0.96\), \(\tan \angle MCH = \frac{MH}{CH} = \frac{7}{24}\), \(\cot \angle MCH = \frac{CH}{MH} = \frac{24}{7}\).

Ответ: 0.28, 0.96, \(\frac{7}{24}\), \(\frac{24}{7}\).

Подробный ответ:

Дано: прямоугольный треугольник АВС, где АС = 30 см, ВС = 40 см, угол С = 90°. Требуется найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла МСН.

Решение:
1) Найдем длину гипотенузы АВ треугольника АВС:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB^2 = (30)^2 + (40)^2\)
\(AB^2 = 900 + 1600\)
\(AB^2 = 2500\)
\(AB = \sqrt{2500} = 50\)

2) Найдем длину медианы СМ:
\(CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(50) = 25\)

3) Найдем высоту СН:
\(AC^2 = AH \cdot AB\)
\((30)^2 = AH \cdot 50\)
\(AH = \frac{900}{50} = 18\)
\(BH = AB — AH = 50 — 18 = 32\)
\(CH^2 = AH \cdot BH\)
\(CH^2 = 18 \cdot 32 = 576\)
\(CH = \sqrt{576} = 24\)

4) Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла МСН:
\(\sin \angle MCH = \frac{MH}{MC} = \frac{7}{25} = 0.28\)
\(\cos \angle MCH = \frac{CH}{MC} = \frac{24}{25} = 0.96\)
\(\tan \angle MCH = \frac{MH}{CH} = \frac{7}{24}\)
\(\cot \angle MCH = \frac{CH}{MH} = \frac{24}{7}\)

Ответ: 0.28, 0.96, \(\frac{7}{24}\), \(\frac{24}{7}\).

Оцени решение