ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 60 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы \(30^\circ\) и \(90^\circ\). Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен \(36\) см.

Краткий ответ:

1) В прямоугольном ΔABD: \(\angle ADB = 30°\); \(AD = 2AB\);
2) В параллелограмме ABCD \(AB = CD\), \(BC = AD\); \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\); \(AB + AD + AB + AD = 36\); \(2AB + 2AD = 36\); \(AB + AD = 18\); \(3AB = 18\), \(AB = 6\); \(AD = 2 \cdot 6 = 12\);
Ответ: 6 см; 12 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— \(\angle ABD = 90°\)
— \(\angle ADB = 30°\)
— Периметр параллелограмма ABCD равен \(P_{ABCD} = 36\) см

Найти:
— Длины сторон AB, BC, CD, AD

Решение:
1) Так как \(\angle ABD = 90°\), то ΔABD является прямоугольным треугольником.
2) Из условия \(\angle ADB = 30°\), следует, что \(\angle BAD = 60°\).
3) В прямоугольном треугольнике ΔABD, противолежащая сторона \(AD\) равна \(2\) раза больше прилежащей стороны \(AB\), то есть \(AD = 2AB\).
4) Так как ABCD является параллелограммом, то \(AB = CD\) и \(BC = AD\).
5) Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин его сторон: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\).
6) Подставляя известные равенства, получаем: \(P_{ABCD} = AB + AD + AB + AD = 4AB + 2AD\).
7) Из условия \(P_{ABCD} = 36\) см, имеем: \(4AB + 2AD = 36\).
8) Решая это уравнение, находим: \(2AB + AD = 18\), \(3AB = 18\), \(AB = 6\) см.
9) Подставляя \(AB = 6\) см в \(AD = 2AB\), получаем \(AD = 12\) см.
10) Таким образом, длины сторон параллелограмма ABCD равны: \(AB = 6\) см, \(BC = AD = 12\) см, \(CD = 6\) см.

Оцени решение