ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 602 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что углы \(ABC\) и \(DEF\), изображенные на рисунке 184, равны.
Решение:
1) В прямоугольном ΔABC: \(tg \angle B = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}\)
2) В прямоугольном ΔAEHD: \(ED^2 = EH^2 + DH^2 = 2^2 + 2^2 = 8\), следовательно, \(ED = 2\sqrt{2}\)
3) В прямоугольном ΔAFND: \(\angle FDN = 45°\), \(ΔAFN\) — равнобедренный, \(DN = NF\), \(DF^2 = DN^2 + NF^2\), \(1^2 = DN^2 + DN^2\), \(DN^2 = \frac{1}{2}\), \(DN = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
4) В прямоугольном ΔENF: \(EN = ED — DN = 2\sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\), \(tg \angle E = \frac{FN}{EN} = \frac{1}{3}\)
Таким образом, \(\angle E = \angle B\), следовательно, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\).
Дано: \(AB = 3\), \(AC = 1\), \(EH = 2\), \(DH = 2\), \(DF = 1\), \(AC \perp AB\), \(EH \perp DH\), \(FN \perp ED\).
Доказать: \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\).
Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\). Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Таким образом, \(AC^2 + AB^2 = BC^2\). Подставляя известные значения, получаем: \(1^2 + 3^2 = BC^2\), \(BC^2 = 10\), \(BC = \sqrt{10}\).
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AEH\). Согласно теореме Пифагора, \(ED^2 = EH^2 + DH^2\). Подставляя известные значения, получаем: \(ED^2 = 2^2 + 2^2 = 8\), \(ED = 2\sqrt{2}\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AFN\). Угол \(\angle FDN\) равен 45°, так как \(\triangle AFN\) — равнобедренный. Следовательно, \(DF^2 = DN^2 + NF^2\), \(1^2 = DN^2 + DN^2\), \(DN^2 = \frac{1}{2}\), \(DN = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ENF\). Используя теорему Пифагора, получаем: \(EN = ED — DN = 2\sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\). Тангенс угла \(\angle E\) равен \(\frac{FN}{EN} = \frac{1}{3}\), следовательно, \(\angle E = \angle B\).
Таким образом, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) по двум углам и одной стороне.
