ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 603 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектрисы углов \(А\) и \(В\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(М\), \(АВ = 6 \text{ см}\). Найдите радиус окружности, которая проходит через точки \(А\), \(В\) и \(М\).

Решение:

1) В параллелограмме ABCD: \(\angle A + \angle B = 180^\circ\); AM, BM — биссектрисы; \(\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A\), \(\angle ABM = \frac{1}{2}\angle B\);
2) В треугольнике ABM: \(\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ\); \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AMB = 180^\circ\); \(\frac{1}{2}\cdot 180^\circ + \angle AMB = 180^\circ\); \(\angle AMB = 90^\circ\);
3) Рассмотрим окружность: \(\angle AMB = 90^\circ\), AB — диаметр; \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\cdot 6 = 3\).
Ответ: 3 см.

Дано: параллелограмм ABCD, AM — биссектриса угла A, BM — биссектриса угла B, AB = 6 см, A, B, M — точки на окружности.

Решение:
1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Согласно свойствам параллелограмма, сумма углов в параллелограмме равна \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).

2) Биссектрисы AM и BM делят углы A и B пополам, соответственно: \(\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A\) и \(\angle ABM = \frac{1}{2}\angle B\).

3) Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов в треугольнике равна \(\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ\). Подставляя выражения для углов, получаем: \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AMB = 180^\circ\). Упрощая, имеем: \(\frac{1}{2}\cdot 180^\circ + \angle AMB = 180^\circ\), откуда \(\angle AMB = 90^\circ\).

4) Так как \(\angle AMB = 90^\circ\) и AB является диаметром окружности, то AM и BM являются радиусами этой окружности. Следовательно, радиус окружности R равен половине длины диаметра AB: \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\cdot 6 = 3\) см.

Ответ: Радиус окружности R = 3 см.