ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 606 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны два круга, не имеющие общих точек. Существует ли точка, которая не принадлежит ни одному из кругов, такая, что любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает хотя бы один из этих кругов?

Решение:
1) Проведем общую внутреннюю касательную и общую внешнюю касательную к двум кругам.
2) Рассмотрим фигуру, ограниченную тупым углом между касательными и лежащим внутри него кругом.
3) Все прямые, проходящие через точку, лежащую внутри этой фигуры, будут пересекать один из кругов.

Ответ: да.

Для решения задачи о касательных к двум кругам, давайте рассмотрим процесс более детально.

Сначала обозначим два круга как \( C_1 \) и \( C_2 \). Пусть радиусы этих кругов равны \( r_1 \) и \( r_2 \), а расстояние между центрами кругов обозначим как \( d \).

1. Проведем общую внутреннюю касательную к кругам. Эта касательная будет касаться обоих кругов и находиться между ними. Обозначим точки касания как \( A \) и \( B \) для кругов \( C_1 \) и \( C_2 \) соответственно.

2. Теперь проведем общую внешнюю касательную. Эта касательная будет находиться вне кругов и также будет касаться их в точках \( C \) и \( D \).

3. Рассмотрим фигуру, ограниченную тупым углом, образованным внутренней и внешней касательными. Этот угол будет включать в себя область, в которой лежит круг, находящийся между касательными. Обозначим эту область как \( O \).

4. Теперь рассмотрим любую точку \( P \), которая лежит внутри фигуры \( O \). Все прямые, проведенные из точки \( P \), будут пересекаться с одной из касательных, а затем продолжаться до пересечения с одним из кругов. Это происходит потому, что угол между касательными является тупым, и, следовательно, любые лучи из точки \( P \) будут выходить за пределы внутренней области, пересекающей один из кругов.

Таким образом, мы можем утверждать, что все прямые, проходящие через точку, лежащую внутри этой фигуры, будут пересекать один из кругов.

Ответ: да.