ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 62 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая отрезки \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\), а прямые \(AD\) и \(CD\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Докажите, что \(PM = NK\).

Решение:
1) В четырехугольнике PNCA: PN || CA, PA || NC; PNCA — параллелограмм; PN = AC;
2) В четырехугольнике МKCA: MK || CA, MA || KC; МKCA — параллелограмм; MK = AC = PN;
3) Рассмотрим отрезки PN и МK:
PN = PM + MN;
MK = NK + MN;
PM = NK.

Дано: четырехугольник ABCD — параллелограмм, РК || АС.

Доказать: РМ = NK.

Решение:
1) Рассмотрим четырехугольник PNCA. Так как ABCD — параллелограмм, то PN || CA и PA || NC. Следовательно, PNCA — параллелограмм, и PN = AC.

2) Рассмотрим четырехугольник МKCA. Так как ABCD — параллелограмм, то МK || CA и МA || KC. Следовательно, МKCA — параллелограмм, и МK = AC = PN.

3) Рассмотрим отрезки PN и МK:
PN = РМ + МN
МK = NК + МN
Вычитая второе равенство из первого, получаем: PN — МK = РМ — NК
Но PN = МK, поэтому РМ = NК.

Таким образом, доказано, что РМ = NК.