ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 622 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона ромба равна \(a\), а один из его углов — \(60°\). Найдите диагонали ромба.

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD: AC = 2A0, BD = 2B0; AC ⊥ BD;
AC — биссектриса ∠A;
∠BAO = \(\frac{1}{2}\)∠A = 30°;
2) В прямоугольном ΔAOB:
sin ∠A = \(\frac{1}{2}\), sin ∠A = \(\frac{BO}{AB}\);
BO = AB ⋅ sin ∠A = \(\frac{a}{2}\);
\(\cos\) ∠A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos\) ∠A = \(\frac{40}{AB}\);
AO = AB ⋅ \(\cos\) ∠A = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\);
AC = \(\sqrt{3}a\), BD = a.
Ответ: a; \(\sqrt{3}a\).

Дано: ромб ABCD, угол BAD равен 60°, длина стороны AB равна a.

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD. Согласно свойствам ромба, противоположные стороны равны, то есть AC = 2A0 и BD = 2B0.
2) Также известно, что диагонали ромба перпендикулярны, то есть AC ⊥ BD.
3) Так как угол BAD равен 60°, то угол BAO, являющийся половиной угла BAD, равен \(\frac{1}{2}\)∠BAD = \(\frac{1}{2}\)⋅60° = 30°.
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Согласно определению синуса, \(\sin\) ∠A = \(\frac{BO}{AB}\), где BO = \(\frac{a}{2}\) (так как AB = a и ∠BAO = 30°).
5) Также в прямоугольном треугольнике AOB, \(\cos\) ∠A = \(\frac{AO}{AB}\), где AO = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (так как AB = a и ∠BAO = 30°).
6) Используя соотношение \(\sin^2\) ∠A + \(\cos^2\) ∠A = 1, получаем:
\(\sin^2\) ∠A + \(\cos^2\) ∠A = 1
\(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1\)
7) Таким образом, AC = 2A0 = 2\(\sqrt{3}a\) и BD = 2B0 = 2a.

Ответ: a; \(\sqrt{3}a\).