ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 630 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна \(h\), острый угол равен \(\alpha\). Найдите стороны треугольника.

Решение:

1) В прямоугольном ∆ABC: \(CH = h\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между стороной \(AC\) и высотой \(CH\)
2) В прямоугольном ∆ABC: \(\angle B = 90° — \alpha\)
3) В прямоугольном ∆BHC: \(\sin\beta = \cos\alpha\), где \(\beta\) — угол между стороной \(BC\) и высотой \(CH\)
4) В прямоугольном ∆ABC: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = h^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = h^2\)
Ответ: \(h\), \(h\), \(h\)

Дано: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(CH\) — высота, \(CH = h\), \(\angle ACB = \alpha\)

Решение:
1) Найдем длину стороны \(AC\) с помощью тригонометрии в прямоугольном треугольнике \(AHC\):
\(AC = CH \cdot \cot\alpha = h \cdot \cot\alpha\)

2) Найдем длину стороны \(BC\) с помощью тригонометрии в прямоугольном треугольнике \(BHC\):
\(BC = CH \cdot \tan\beta = h \cdot \tan\beta\), где \(\beta = 90^\circ — \alpha\)

3) Найдем длину стороны \(AB\) с помощью теоремы Пифагора в треугольнике \(ABC\):
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 = (h \cdot \cot\alpha)^2 + (h \cdot \tan\beta)^2 = h^2 (\cot^2\alpha + \tan^2\beta)\)
Учитывая, что \(\tan\beta = \cot\alpha\), получаем:
\(AB = h \cdot \sqrt{\cot^2\alpha + \cot^2\alpha} = h \cdot \sqrt{2 \cot^2\alpha} = h \cdot \sqrt{2} \cdot \cot\alpha\)

Ответ: \(h \cdot \cot\alpha\), \(h \cdot \tan(90^\circ — \alpha)\), \(h \cdot \sqrt{2} \cdot \cot\alpha\)