ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 631 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из катетов прямоугольного треугольника равен \(a\). Угол между другим катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, равен \(\phi\). Найдите неизвестные стороны треугольника и проведенную высоту.

Решение:

1) В прямоугольном ΔАНС:
\(LC = 90° — \angle BCH = 90° — \phi\)
\(\cos LC = \cos(90° — \phi) = \sin \phi\)
\(\cos LC = — \frac{CH}{AC}\)
\(CH = AC \cdot \cos LC\)
\(CH = a \cdot \sin \phi\)

2) В прямоугольном ΔВНС:
\(\angle B = 90° — \angle BCH = 90° — \phi\)
\(\sin \angle B = \sin(90° — \phi) = \cos \phi\)
\(\sin \angle B = \frac{BC}{CH}\)
\(BC = CH \cdot \sin \angle B\)
\(BC = a \cdot \tan \phi\)

3) В прямоугольном ΔАВС:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB^2 = a^2 + a^2 \cdot \tan^2 \phi\)
\(AB^2 = a^2 \cdot (1 + \tan^2 \phi)\)
\(AB^2 = \frac{a^2}{\cos^2 \phi}\)
\(AB = \frac{a}{\cos \phi}\)

Ответ:
\(a \cdot \sin \phi\)
\(a \cdot \tan \phi\)
\(\frac{a}{\cos \phi}\)

Решение:

Дано:
— \(\angle ABC = 90°\)
— \(CH\) — высота
— \(AC = a\)
— \(\angle BCH = \phi\)

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАНС:
В прямоугольном треугольнике \(\angle LСH = 90° — \angle BCH = 90° — \phi\), поэтому \(\cos LC = \cos(90° — \phi) = \sin \phi\).
Кроме того, \(\cos LC = -\frac{CH}{AC}\), откуда \(CH = AC \cdot \cos LC = a \cdot \sin \phi\).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔВНС:
В прямоугольном треугольнике \(\angle B = 90° — \angle BCH = 90° — \phi\), поэтому \(\sin \angle B = \sin(90° — \phi) = \cos \phi\).
Также \(\sin \angle B = \frac{BC}{CH}\), откуда \(BC = CH \cdot \sin \angle B = a \cdot \sin \phi \cdot \cos^{-1} \phi = a \cdot \tan \phi\).

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВС:
По теореме Пифагора \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), где \(AC = a\) и \(BC = a \cdot \tan \phi\).
Следовательно, \(AB^2 = a^2 + a^2 \cdot \tan^2 \phi = a^2 \cdot (1 + \tan^2 \phi)\).
Учитывая, что \(\tan^2 \phi + 1 = \sec^2 \phi\), получаем \(AB^2 = \frac{a^2}{\cos^2 \phi}\).
Таким образом, \(AB = \frac{a}{\cos \phi}\).

Ответ:
\(CH = a \cdot \sin \phi\)
\(BC = a \cdot \tan \phi\)
\(AB = \frac{a}{\cos \phi}\)