ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 632 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Большая диагональ ромба равна \(d\), а острый угол равен \(\alpha\). Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.

1) Рассмотрим ромб ABCD: \( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{d}{2} \), \( BD = 2BO \), \( AC \perp BD \); \( AC \) — биссектриса \( \angle A \); \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{\alpha}{2} \);

2) В прямоугольном \( \triangle AOB \):
\( \tan \angle A = \tan \frac{\alpha}{2} \), \( \tan \angle A = \frac{BO}{AO} \);
\( BO = AO \cdot \tan \angle A = \frac{d}{2} \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \), \( BD = 2BO = d \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \);
\( \cos \angle A = \cos \frac{\alpha}{2} \), \( \cos \angle A = \frac{AO}{AB} \), \( AB = \frac{AO}{\cos \angle A} = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \);

Ответ: \( AB = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \), \( BD = d \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \).

Рассмотрим ромб \( ABCD \), где \( AC = d \) — большая диагональ, \( \angle BAD = \alpha \) — угол при вершине \( A \). Требуется найти сторону \( AB \) и вторую диагональ \( BD \).

1) Свойства ромба: диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — \( O \). Тогда \( AO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2} \), а \( BD = 2BO \). Диагональ \( AC \) также является биссектрисой угла \( \angle BAD \), поэтому \( \angle BAC = \frac{\alpha}{2} \).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AOB \), где \( \angle AOB = 90^\circ \). В этом треугольнике:
— \( \tan \angle BAC = \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{BO}{AO} \), откуда \( BO = AO \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{d}{2} \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \).
— Так как \( BD = 2BO \), то \( BD = d \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \).
— \( \cos \angle BAC = \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{AO}{AB} \), откуда \( AB = \frac{AO}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \).

Ответ: сторона ромба \( AB = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \), диагональ \( BD = d \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \).