ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 634 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол \(30°\). Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен \(R\).

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(O\) — центр описанной окружности, \(BE\) — высота, \(AB = CD\), \(\angle ABD = 90^\circ\), \(\angle ADB = 30^\circ\), \(AO = R\). Найти \(BE\).

Решение:
1) Так как \(\angle ABD = 90^\circ\), то \(AD\) — диаметр окружности, значит \(AD = 2R\).
2) В прямоугольном \(\triangle ABD\): \(\sin \angle ADB = \frac{AB}{AD}\), \(\sin 30^\circ = \frac{AB}{2R}\), откуда \(AB = R\).
3) Угол \(\angle A = 60^\circ\), так как \(\angle A = 90^\circ — \angle ADB = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\).
4) В прямоугольном \(\triangle ABE\): \(\sin \angle A = \frac{BE}{AB}\), \(\sin 60^\circ = \frac{BE}{R}\), откуда \(BE = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\).

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)), \(O\) — центр описанной окружности, \(BE\) — высота, \(\angle ABD = 90^\circ\), \(\angle ADB = 30^\circ\), \(AO = R\). Требуется найти длину \(BE\).

1) Анализ окружности:
Так как \(\angle ABD = 90^\circ\) и точка \(B\) лежит на окружности, по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, \(AD\) является диаметром окружности. Следовательно, центр окружности \(O\) — середина \(AD\), и \(AD = 2R\).

2) Решение треугольника \(ABD\):
В прямоугольном \(\triangle ABD\) (\(\angle ABD = 90^\circ\)):
— Угол \(\angle ADB = 30^\circ\), значит, \(\angle BAD = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\)).
— По определению синуса: \(\sin(\angle ADB) = \frac{AB}{AD}\). Подставляем известные значения: \(\sin(30^\circ) = \frac{AB}{2R}\).
— Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем \(AB = R\).

3) Нахождение высоты \(BE\):
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABE\) (\(\angle AEB = 90^\circ\)):
— Угол \(\angle BAE = 60^\circ\) (из п. 2).
— По определению синуса: \(\sin(\angle BAE) = \frac{BE}{AB}\). Подставляем известные значения: \(\sin(60^\circ) = \frac{BE}{R}\).
— Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(BE = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\).

4) Проверка трапеции \(ABCD\):
Равнобедренность трапеции (\(AB = CD\)) и наличие описанной окружности означают, что \(ABCD\) — равнобедренная описанная трапеция, но для решения задачи это не требуется, так как все необходимые данные получены из \(\triangle ABD\) и \(\triangle ABE\).

Ответ: \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\).